مدل هستون چیست؟

مدل هستون (Heston Model) یک مدل نوسانات تصادفی است که برای قیمت‌گذاری گزینه‌های اروپایی استفاده می‌شود و فرض می‌کند نوسانات متغیر است، برخلاف فرض نوسانات ثابت در مدل بلک-شولز.

مدل هستون، که به نام استیو هستون نام‌گذاری شده است، نوعی مدل نوسانات تصادفی است که برای قیمت‌گذاری گزینه‌های اروپایی استفاده می‌شود.

نکات کلیدی

• مدل هستون یک مدل قیمت‌گذاری گزینه است که از نوسانات تصادفی استفاده می‌کند.
• این مدل فرض می‌کند که نوسانات متغیر است، برخلاف مدل بلک-شولز که نوسانات را ثابت می‌داند.
• مدل هستون نوعی مدل لبخند نوسانات (Volatility Smile Model) است که نمایش گرافیکی از چندین گزینه با تاریخ انقضای یکسان است و افزایش نوسانات را با نزدیک‌تر شدن گزینه‌ها به حالت در پول (ITM) یا خارج از پول (OTM) نشان می‌دهد.

درک مدل هستون

مدل هستون، که در سال ۱۹۹۳ توسط استیو هستون، استاد دانشیار مالی، توسعه یافت، یک مدل قیمت‌گذاری گزینه است که می‌تواند برای قیمت‌گذاری گزینه‌ها بر روی اوراق بهادار مختلف استفاده شود. این مدل با مدل قیمت‌گذاری گزینه بلک-شولز که محبوب‌تر است، قابل مقایسه است. به طور کلی، مدل‌های قیمت‌گذاری گزینه توسط سرمایه‌گذاران پیشرفته برای تخمین و ارزیابی قیمت یک گزینه خاص که بر روی یک اوراق بهادار در بازار مالی معامله می‌شود، استفاده می‌شوند. گزینه‌ها، درست مانند اوراق بهادار پایه‌ای خود، قیمت‌هایی دارند که در طول روز معاملاتی تغییر می‌کنند. مدل‌های قیمت‌گذاری گزینه به دنبال تجزیه و تحلیل و ادغام متغیرهایی هستند که باعث نوسان قیمت گزینه‌ها می‌شوند تا بهترین قیمت گزینه برای سرمایه‌گذاری را شناسایی کنند. به‌عنوان یک مدل نوسانات تصادفی، مدل هستون از روش‌های آماری برای محاسبه و پیش‌بینی قیمت‌گذاری گزینه‌ها با فرض اینکه نوسانات متغیر است، استفاده می‌کند. فرض اینکه نوسانات متغیر است، نه ثابت، عامل کلیدی است که مدل‌های نوسانات تصادفی را منحصر به فرد می‌کند. سایر انواع مدل‌های نوسانات تصادفی شامل مدل SABR، مدل چن و مدل GARCH هستند.

تفاوت‌های کلیدی

مدل هستون دارای ویژگی‌هایی است که آن را از سایر مدل‌های نوسانات تصادفی متمایز می‌کند، از جمله:

• در نظر گرفتن همبستگی احتمالی بین قیمت سهام و نوسانات آن.
• انتقال نوسانات به‌عنوان بازگشت به میانگین.
• ارائه یک راه‌حل بسته (Closed-Form Solution)، به این معنا که پاسخ از مجموعه‌ای از عملیات ریاضی پذیرفته‌شده به دست می‌آید.
• عدم نیاز به این که قیمت‌های سهام از توزیع احتمال لگاریتمی-نرمال پیروی کنند.

مدل هستون همچنین نوعی مدل لبخند نوسانات است. «لبخند» به لبخند نوسانات اشاره دارد، یک نمایش گرافیکی از چندین گزینه با تاریخ انقضای یکسان که افزایش نوسانات را با نزدیک‌تر شدن گزینه‌ها به حالت در پول (ITM) یا خارج از پول (OTM) نشان می‌دهد. نام مدل لبخند از شکل مقعر نمودار گرفته شده است که شبیه به یک لبخند است.

روش‌شناسی مدل هستون مدل هستون یک راه‌حل بسته برای قیمت‌گذاری گزینه‌ها ارائه می‌دهد که به دنبال غلبه بر برخی از کاستی‌های مدل قیمت‌گذاری گزینه بلک-شولز است. مدل هستون ابزاری برای سرمایه‌گذاران پیشرفته است. محاسبه به صورت زیر است:

$dS_t = rS_t dt + \sqrt{V_t} S_t dW_{1t}$
$dV_t = k(\theta - V_t) dt + \sigma \sqrt{V_t} dW_{2t}$

جایی که:

• $S_t$: قیمت دارایی در زمان $t$
• $r$: نرخ بهره بدون ریسک – نرخ نظری روی دارایی بدون ریسک
• $V_t$: نوسانات (انحراف معیار) قیمت دارایی
• $\sigma$: نوسانات $V_t$
• $\theta$: واریانس قیمت بلندمدت
• $k$: نرخ بازگشت به $\theta$
• $dt$: افزایش زمان مثبت بی‌نهایت کوچک
• $W_{1t}$: حرکت براونی قیمت دارایی
• $W_{2t}$: حرکت براونی واریانس قیمت دارایی

مدل هستون در مقابل بلک-شولز مدل بلک-شولز برای قیمت‌گذاری گزینه در دهه ۱۹۷۰ معرفی شد و یکی از اولین مدل‌هایی بود که به سرمایه‌گذاران کمک کرد تا قیمتی مرتبط با یک گزینه روی یک اوراق بهادار استخراج کنند. به طور کلی، این مدل به ترویج سرمایه‌گذاری در گزینه‌ها کمک کرد زیرا مدلی برای تجزیه و تحلیل قیمت گزینه‌ها بر روی اوراق بهادار مختلف ایجاد کرد. هر دو مدل بلک-شولز و هستون بر اساس محاسبات پایه‌ای هستند که می‌توانند از طریق اکسل پیشرفته یا سایر سیستم‌های کمی برنامه‌ریزی شوند. فرمول گزینه خرید بلک-شولز با ضرب قیمت سهام در تابع توزیع احتمال نرمال استاندارد تجمعی محاسبه می‌شود. سپس ارزش فعلی خالص (NPV) قیمت اعتصاب ضرب در توزیع نرمال استاندارد تجمعی از نتیجه محاسبه قبلی کسر می‌شود. در نماد ریاضی:

$\text{Call} = S \cdot N(d_1) - K e^{-r \cdot T} \cdot N(d_2)$

برعکس، ارزش یک گزینه فروش می‌تواند با استفاده از فرمول زیر محاسبه شود:

$\text{Put} = K e^{-r \cdot T} \cdot N(-d_2) - S \cdot N(-d_1)$

در هر دو فرمول، $S$ قیمت سهام، $K$ قیمت اعتصاب، $r$ نرخ بهره بدون ریسک و $T$ زمان تا سررسید است. فرمول برای $d_1$ به صورت زیر است:

$\frac{\ln(S/K) + (r + (\text{Annualized Volatility})^2/2) \cdot T}{\text{Annualized Volatility} \cdot \sqrt{T}}$

فرمول برای $d_2$ به صورت زیر است:

$d_1 - (\text{Annualized Volatility}) \cdot \sqrt{T}$

ملاحظات ویژه مدل هستون به دلیل تلاش برای رفع یکی از محدودیت‌های اصلی مدل بلک-شولز که نوسانات را ثابت فرض می‌کند، قابل توجه است. استفاده از متغیرهای تصادفی در مدل هستون این مفهوم را فراهم می‌کند که نوسانات ثابت نیست بلکه متغیر است. هر دو مدل بلک-شولز و هستون تنها برآوردهای قیمت‌گذاری گزینه را برای یک گزینه اروپایی ارائه می‌دهند، که گزینه‌ای است که فقط در تاریخ انقضا قابل اجرا است. تحقیقات و مدل‌های مختلفی برای قیمت‌گذاری گزینه‌های آمریکایی از طریق هر دو مدل بلک-شولز و هستون مطالعه شده‌اند. این تغییرات برآوردهایی را برای گزینه‌هایی ارائه می‌دهند که می‌توانند در هر تاریخی تا تاریخ انقضا اجرا شوند، همان‌طور که در مورد گزینه‌های آمریکایی صادق است.