رگرسیون خطی چندگانه چیست؟

رگرسیون خطی چندگانه (MLR)، که به‌سادگی به‌عنوان رگرسیون چندگانه نیز شناخته می‌شود، یک تکنیک آماری است که از چندین متغیر توضیحی (مستقل) برای پیش‌بینی نتیجه یک متغیر پاسخ (وابسته) استفاده می‌کند. هدف MLR مدل‌سازی رابطه خطی بین متغیرهای توضیحی (مستقل) و متغیر پاسخ (وابسته) است. در حقیقت، رگرسیون چندگانه گسترش رگرسیون حداقل مربعات معمولی (OLS) است، زیرا شامل بیش از یک متغیر توضیحی می‌شود.

نکات کلیدی

• رگرسیون خطی چندگانه (MLR) یک تکنیک آماری است که از چندین متغیر توضیحی برای پیش‌بینی نتیجه یک متغیر پاسخ استفاده می‌کند.
• رگرسیون چندگانه گسترش رگرسیون خطی ساده (OLS) است که تنها از یک متغیر توضیحی استفاده می‌کند.
• MLR به‌طور گسترده در اقتصادسنجی و استنباط مالی استفاده می‌شود.
• رگرسیون‌های چندگانه برای پیش‌بینی، توضیح روابط بین متغیرهای مالی و آزمایش نظریه‌های موجود به کار می‌روند.

فرمول و محاسبه رگرسیون خطی چندگانه (MLR)

فرمول رگرسیون خطی چندگانه به‌صورت زیر است:

$y_i = \beta_0 + \beta_1 x_{i1} + \beta_2 x_{i2} + \dots + \beta_p x_{ip} + \epsilon$

که در آن، برای $i = n$ مشاهده:

• $y_i$: متغیر وابسته
• $x_i$: متغیرهای توضیحی
• $\beta_0$: عرض از مبدا (مقدار ثابت)
• $\beta_p$: ضرایب شیب برای هر متغیر توضیحی
• $\epsilon$: خطای مدل (که به‌عنوان باقی‌مانده‌ها نیز شناخته می‌شود)

رگرسیون خطی چندگانه (MLR) چه اطلاعاتی ارائه می‌دهد؟

رگرسیون خطی ساده تابعی است که به تحلیلگر یا آماردان امکان می‌دهد با استفاده از اطلاعات شناخته‌شده درباره یک متغیر، پیش‌بینی‌هایی درباره متغیر دیگر انجام دهد. رگرسیون خطی تنها زمانی قابل استفاده است که دو متغیر پیوسته وجود داشته باشد: یک متغیر مستقل و یک متغیر وابسته. متغیر مستقل پارامتری است که برای محاسبه متغیر وابسته یا نتیجه استفاده می‌شود. مدل رگرسیون چندگانه به چندین متغیر توضیحی گسترش می‌یابد.

مدل MLR بر اساس پیش‌فرض‌های زیر استوار است:

• وجود رابطه خطی بین متغیرهای وابسته و مستقل
• متغیرهای مستقل بیش از حد با یکدیگر همبستگی ندارند
• مشاهدات $y_i$ به‌صورت تصادفی و مستقل از جامعه انتخاب می‌شوند
• باقی‌مانده‌ها باید به‌صورت نرمال با میانگین صفر و واریtس $\sigma$ توزیع شده باشند

مهم: MLR فرض می‌کند که رابطه‌ای خطی بین متغیرهای وابسته و مستقل وجود دارد، متغیرهای مستقل به شدت با یکدیگر همبستگی ندارند و واریانس باقی‌مانده‌ها ثابت است.

ضریب تعیین ($R^2$) یک معیار آماری است که نشان می‌دهد چه مقدار از تغییرات در متغیر پاسخ توسط تغییرات در متغیرهای مستقل توضیح داده می‌شود. $R^2$ همیشه با افزودن پیش‌بینی‌کننده‌های بیشتر به مدل MLR افزایش می‌یابد، حتی اگر این پیش‌بینی‌کننده‌ها با متغیر پاسخ مرتبط نباشند. بنابراین، $R^2$ به‌تنهایی نمی‌تواند برای شناسایی اینکه کدام پیش‌بینی‌کننده‌ها باید در مدل گنجانده شوند و کدام‌ها باید حذف شوند، استفاده شود. $R^2$ تنها می‌تواند بین 0 و 1 باشد، که 0 نشان‌دهنده عدم امکان پیش‌بینی نتیجه توسط هیچ‌یک از متغیرهای مستقل و 1 نشان‌دهنده امکان پیش‌بینی نتیجه بدون خطا از متغیرهای مستقل است.

هنگام تفسیر نتایج رگرسیون چندگانه، ضرایب بتا در حالی معتبر هستند که سایر متغیرها ثابت نگه داشته شوند («با فرض ثابت بودن سایر عوامل»). خروجی رگرسیون چندگانه می‌تواند به‌صورت افقی به شکل یک معادله یا به‌صورت عمودی در قالب جدول نمایش داده شود.

مثال استفاده از رگرسیون خطی چندگانه (MLR)

به‌عنوان مثال، یک تحلیلگر ممکن است بخواهد بداند که حرکت بازار چگونه بر قیمت سهام ExxonMobil (XOM) تأثیر می‌گذارد. در این مورد، معادله خطی شامل شاخص S&P 500 به‌عنوان متغیر مستقل یا پیش‌بینی‌کننده و قیمت XOM به‌عنوان متغیر وابسته خواهد بود.

در واقعیت، عوامل متعددی نتیجه یک رویداد را پیش‌بینی می‌کنند. برای مثال، حرکت قیمت ExxonMobil به چیزی بیش از عملکرد کلی بازار بستگی دارد. سایر پیش‌بینی‌کننده‌ها، مانند قیمت نفت، نرخ بهره و حرکت قیمت آتی نفت، می‌توانند بر قیمت ExxonMobil و قیمت سهام سایر شرکت‌های نفتی تأثیر بگذارند. برای درک رابطه‌ای که بیش از دو متغیر در آن حضور دارند، از MLR استفاده می‌شود.

MLR برای تعیین رابطه ریاضی بین چندین متغیر تصادفی استفاده می‌شود. به عبارت دیگر، MLR بررسی می‌کند که چگونه چندین متغیر مستقل با یک متغیر وابسته مرتبط هستند. هنگامی که هر یک از عوامل مستقل برای پیش‌بینی متغیر وابسته مشخص شد، اطلاعات مربوط به متغیرهای متعدد می‌تواند برای ایجاد پیش‌بینی دقیق از میزان تأثیر آن‌ها بر متغیر پاسخ استفاده شود. این مدل رابطه‌ای به شکل یک خط مستقیم (خطی) ایجاد می‌کند که بهترین تقریب را برای تمام نقاط داده فردی ارائه می‌دهد.

با اشاره به معادله MLR بالا، در مثال ما:

• $y_i$: متغیر وابسته - قیمت XOM
• $x_{i1}$: نرخ بهره
• $x_{i2}$: قیمت نفت
• $x_{i3}$: ارزش شاخص S&P 500
• $x_{i4}$: قیمت آتی نفت
• $\beta_0$: عرض از مبدا در زمان صفر
• $\beta_1$: ضریب رگرسیون که تغییر واحد در متغیر وابسته را هنگام تغییر $x_{i1}$ اندازه‌گیری می‌کند - تغییر قیمت XOM هنگام تغییر نرخ بهره
• $\beta_2$: مقدار ضریب که تغییر واحد در متغیر وابسته را هنگام تغییر $x_{i2}$ اندازه‌گیری می‌کند - تغییر قیمت XOM هنگام تغییر قیمت نفت

برآوردهای حداقل مربعات ($\beta_0, \beta_1, \beta_2, \dots, \beta_p$) معمولاً توسط نرم‌افزارهای آماری محاسبه می‌شوند. تعداد زیادی متغیر می‌توانند در مدل رگرسیون گنجانده شوند که هر متغیر مستقل با یک شماره متمایز می‌شود: 1، 2، 3، 4، ...، p.

واقعیت سریع: رگرسیون چندگانه همچنین می‌تواند غیرخطی باشد، در این صورت متغیرهای وابسته و مستقل از یک خط مستقیم پیروی نمی‌کنند.

مدل رگرسیون چندگانه به تحلیلگر امکان می‌دهد نتیجه‌ای را بر اساس اطلاعات ارائه‌شده درباره چندین متغیر توضیحی پیش‌بینی کند. با این حال، مدل همیشه کاملاً دقیق نیست، زیرا هر نقطه داده ممکن است کمی از نتیجه پیش‌بینی‌شده توسط مدل متفاوت باشد. مقدار باقی‌مانده ($\epsilon$)، که تفاوت بین نتیجه واقعی و نتیجه پیش‌بینی‌شده است، در مدل گنجانده می‌شود تا این تغییرات جزئی را توضیح دهد.

ما مدل رگرسیون قیمت XOM خود را از طریق یک نرم‌افزار محاسبات آماری اجرا کردیم. خروجی آن به این صورت بود:

(تصویر توسط سابرینا جیانگ © Investopedia)

تحلیلگر این خروجی را این‌گونه تفسیر می‌کند که اگر سایر متغیرها ثابت نگه داشته شوند، قیمت XOM با افزایش 1 درصدی قیمت نفت در بازار 7.8 درصد افزایش خواهد یافت. این مدل همچنین نشان می‌دهد که قیمت XOM با افزایش 1 درصدی نرخ بهره، 1.5 درصد کاهش می‌یابد. $R^2$ نشان می‌دهد که 86.5 درصد از تغییرات در قیمت سهام ExxonMobil توسط تغییرات در نرخ بهره، قیمت نفت، آتی نفت و شاخص S&P 500 توضیح داده می‌شود.

رگرسیون خطی در برابر رگرسیون چندگانه

رگرسیون حداقل مربعات معمولی (OLS) پاسخ یک متغیر وابسته را با توجه به تغییر در برخی متغیرهای توضیحی مقایسه می‌کند. با این حال، یک متغیر وابسته به‌ندرت تنها توسط یک متغیر توضیح داده می‌شود. در این موارد، تحلیلگر از رگرسیون چندگانه استفاده می‌کند که تلاش می‌کند متغیر وابسته را با استفاده از بیش از یک متغیر مستقل توضیح دهد.

رگرسیون‌های چندگانه می‌توانند خطی یا غیرخطی باشند. MLR بر این فرض استوار است که رابطه‌ای خطی بین متغیرهای وابسته و مستقل وجود دارد و همچنین فرض می‌کند که همبستگی عمده‌ای بین متغیرهای مستقل وجود ندارد.

توضیح مانند یک کودک پنج‌ساله

رگرسیون خطی چندگانه برای این استفاده می‌شود که بفهمیم عوامل مختلف چگونه چیزی را که می‌خواهیم پیش‌بینی کنیم تحت تأثیر قرار می‌دهند. برای مثال، فرض کنید می‌خواهید بدانید قیمت سهام یک شرکت نفتی چقدر خواهد بود. به جای نگاه کردن فقط به یک عامل، مثل بازار کلی، MLR به عوامل زیادی به‌طور همزمان نگاه می‌کند، مانند قیمت نفت، نرخ بهره و شاخص بازار، تا پیش‌بینی بهتری انجام دهد. هر یک از این عوامل تأثیر خاص خود را بر قیمت سهام دارد و MLR کمک می‌کند محاسبه کنیم هر کدام چقدر اهمیت دارند.

مدل MLR فرض می‌کند که رابطه بین نتیجه (قیمت سهام) و عوامل خطی است و این عوامل با یکدیگر همبستگی زیادی ندارند. نتیجه به شما تصویر واضح‌تری از آنچه واقعاً باعث تغییرات می‌شود و میزان تأثیر هر عامل را نشان می‌دهد. MLR در امور مالی، اقتصاد و سایر زمینه‌ها برای درک روابط و پیش‌بینی استفاده می‌شود.

چه چیزی رگرسیون چندگانه را چندگانه می‌کند؟

رگرسیون چندگانه تأثیر بیش از یک متغیر توضیحی بر نتیجه مورد نظر را در نظر می‌گیرد. این روش تأثیر نسبی این متغیرهای توضیحی یا مستقل را بر متغیر وابسته ارزیابی می‌کند، در حالی که سایر متغیرهای مدل ثابت نگه داشته می‌شوند.

چرا از رگرسیون چندگانه به جای رگرسیون ساده OLS استفاده می‌شود؟

یک متغیر وابسته به‌ندرت تنها توسط یک متغیر توضیح داده می‌شود. در چنین مواردی، تحلیلگر از رگرسیون چندگانه استفاده می‌کند که تلاش می‌کند متغیر وابسته را با استفاده از بیش از یک متغیر مستقل توضیح دهد. با این حال، مدل فرض می‌کند که همبستگی‌های عمده‌ای بین متغیرهای مستقل وجود ندارد.

آیا می‌توان رگرسیون چندگانه را به‌صورت دستی انجام داد؟

بعید است، زیرا مدل‌های رگرسیون چندگانه پیچیده هستند و وقتی تعداد متغیرهای گنجانده‌شده در مدل یا مقدار داده‌های مورد تجزیه و تحلیل افزایش می‌یابد، پیچیدگی آن‌ها بیشتر می‌شود. برای اجرای رگرسیون چندگانه، احتمالاً نیاز به استفاده از نرم‌افزارهای آماری تخصصی یا توابعی در برنامه‌هایی مانند اکسل خواهید داشت.

خطی بودن رگرسیون چندگانه به چه معناست؟

در رگرسیون خطی چندگانه، مدل خط بهینه‌ای را محاسبه می‌کند که واریانس هر یک از متغیرهای گنجانده‌شده را نسبت به متغیر وابسته به حداقل می‌رساند. چون این مدل یک خط را برازش می‌دهد، یک مدل خطی است. همچنین مدل‌های رگرسیون غیرخطی شامل چندین متغیر، مانند رگرسیون لجستیک، رگرسیون درجه دوم و مدل‌های پروبیت وجود دارند.

مدل‌های رگرسیون چندگانه چگونه در امور مالی استفاده می‌شوند؟

هر مدل اقتصادسنجی که بیش از یک متغیر را بررسی کند، می‌تواند یک مدل چندگانه باشد. مدل‌های عاملی دو یا چند عامل را مقایسه می‌کنند تا روابط بین متغیرها و عملکرد حاصل را تحلیل کنند.

مدل سه‌گانه فاما و فرنچ مدلی است که مدل قیمت‌گذاری دارایی‌های سرمایه‌ای (CAPM) را گسترش می‌دهد و با افزودن عوامل ریسک اندازه و ریسک ارزش به عامل ریسک بازار در CAPM (که خود یک مدل رگرسیون است)، تنظیم می‌شود. با گنجاندن این دو عامل اضافی، این مدل برای تمایل به عملکرد بهتر تنظیم می‌شود، که گمان می‌رود آن را به ابزاری بهتر برای ارزیابی عملکرد مدیر تبدیل کند.

نتیجه‌گیری

MLR یک ابزار آماری است که برای پیش‌بینی نتیجه یک متغیر بر اساس دو یا چند متغیر توضیحی استفاده می‌شود. اگر تنها یک متغیر بر متغیر وابسته تأثیر بگذارد، مدل رگرسیون خطی ساده کافی است. اما اگر بیش از یک عامل بر آن متغیر تأثیر بگذارد، MLR مورد نیاز است.

یک مثال کلاسیک، عوامل مؤثر بر ارزش‌گذاری یک شرکت در بازار سهام است. معمولاً قیمت سهام یک شرکت تحت تأثیر عوامل مختلفی قرار می‌گیرد. در این مورد، متغیر وابسته قیمت سهام خواهد بود که چیزی است که می‌خواهیم پیش‌بینی کنیم، در حالی که متغیرهای مستقل و توضیحی، عواملی هستند که بر آن تأثیر می‌گذارند.