مدت مکاولی چیست؟

مدت مکاولی یک فرمول است که به سرمایه‌گذار نشان می‌دهد چه مدت طول می‌کشد تا یک اوراق قرضه به سودآوری برسد. این معیار میانگین وزنی مدت زمان تا سررسید جریان‌های نقدی یک اوراق قرضه را اندازه‌گیری می‌کند.

وزن هر جریان نقدی با تقسیم ارزش فعلی جریان نقدی بر قیمت اوراق قرضه تعیین می‌شود.

مدت مکاولی اغلب توسط مدیران پرتفوی که از استراتژی ایمن‌سازی (immunization) استفاده می‌کنند به کار می‌رود. این استراتژی پرتفویی را می‌سازد که از تغییرات نامطلوب نرخ بهره محافظت می‌شود.

نکات کلیدی

• مدت مکاولی میانگین وزنی تعداد سال‌هایی است که یک اوراق قرضه باید نگه داشته شود تا ارزش فعلی جریان‌های نقدی آن برابر با مبلغ پرداخت‌شده برای اوراق شود.
• قیمت اوراق، سررسید، کوپن و بازده تا سررسید همگی در محاسبه مدت مکاولی تأثیر دارند.
• این فرمول می‌تواند حساسیت یک اوراق قرضه به تغییرات نرخ بهره را نشان دهد.

شناخت مدت مکاولی

مدت مکاولی می‌تواند به‌عنوان نقطه تعادل اقتصادی یک گروه از جریان‌های نقدی در نظر گرفته شود. این معیار میانگین وزنی تعداد سال‌هایی است که سرمایه‌گذار باید اوراق قرضه را نگه دارد تا ارزش فعلی جریان‌های نقدی اوراق برابر با مبلغ پرداخت‌شده برای آن شود.

این معیار به نام خالق آن، اقتصاددان کانادایی فردریک مکاولی، نام‌گذاری شده است.

محاسبه مدت مکاولی

مدت مکاولی به صورت زیر محاسبه می‌شود:

$\text{Macaulay Duration} = \frac{\sum_{t=1}^{n} \frac{t \times C}{(1+y)^t} + \frac{n \times M}{(1+y)^n}}{\text{Current Bond Price}}$

که در آن:

• $t$ = دوره زمانی مربوطه
• $C$ = پرداخت کوپن دوره‌ای
• $y$ = بازده دوره‌ای
• $n$ = تعداد کل دوره‌ها
• $M$ = ارزش سررسید

عوامل تأثیرگذار بر مدت

قیمت اوراق، سررسید، کوپن و بازده تا سررسید همگی در محاسبه مدت تأثیر دارند. در شرایط برابر، با افزایش زمان تا سررسید، مدت افزایش می‌یابد. با افزایش کوپن اوراق، مدت کاهش می‌یابد. با افزایش نرخ بهره، مدت کاهش می‌یابد و حساسیت اوراق به افزایش‌های بعدی نرخ بهره کاهش می‌یابد. همچنین، وجود صندوق بازپرداخت (sinking fund)، پیش‌پرداخت برنامه‌ریزی‌شده قبل از سررسید، و مفاد بازخرید (call provisions) همگی مدت یک اوراق را کاهش می‌دهند.

مثال محاسبه

محاسبه مدت مکاولی ساده است. فرض کنید یک اوراق قرضه با ارزش اسمی 1000 دلار، کوپن 6٪ پرداخت می‌کند و در سه سال سررسید می‌شود. نرخ بهره سالانه 6٪ است، با ترکیب نیمه‌سالانه. اوراق قرضه کوپن را دو بار در سال پرداخت می‌کند و اصل را در پرداخت نهایی پرداخت می‌کند. با توجه به این، جریان‌های نقدی مورد انتظار در سه سال آینده به شرح زیر است:

• دوره 1: 30 دلار
• دوره 2: 30 دلار
• دوره 3: 30 دلار
• دوره 4: 30 دلار
• دوره 5: 30 دلار
• دوره 6: 1030 دلار

با دانستن دوره‌ها و جریان‌های نقدی، باید عامل تنزیل برای هر دوره محاسبه شود. این عامل به صورت $\frac{1}{(1 + r)^n}$ محاسبه می‌شود، که در آن $r$ نرخ بهره و $n$ شماره دوره مورد نظر است. نرخ بهره $r$، که به صورت نیمه‌سالانه ترکیب می‌شود، برابر است با $6\% \div 2 = 3\%$. بنابراین، عوامل تنزیل به شرح زیر خواهند بود:

• عامل تنزیل دوره 1: $\frac{1}{(1 + 0.03)^1} = 0.9709$
• عامل تنزیل دوره 2: $\frac{1}{(1 + 0.03)^2} = 0.9426$
• عامل تنزیل دوره 3: $\frac{1}{(1 + 0.03)^3} = 0.9151$
• عامل تنزیل دوره 4: $\frac{1}{(1 + 0.03)^4} = 0.8885$
• عامل تنزیل دوره 5: $\frac{1}{(1 + 0.03)^5} = 0.8626$
• عامل تنزیل دوره 6: $\frac{1}{(1 + 0.03)^6} = 0.8375$

سپس، جریان نقدی هر دوره را در شماره دوره و عامل تنزیل مربوطه ضرب کنید تا ارزش فعلی جریان نقدی به دست آید:

• دوره 1: $1 \times 30 \times 0.9709 = 29.13 دلار$
• دوره 2: $2 \times 30 \times 0.9426 = 56.56 دلار$
• دوره 3: $3 \times 30 \times 0.9151 = 82.36 دلار$
• دوره 4: $4 \times 30 \times 0.8885 = 106.62 دلار$
• دوره 5: $5 \times 30 \times 0.8626 = 129.39 دلار$
• دوره 6: $6 \times 1030 \times 0.8375 = 5175.65 دلار$

$\text{جمع} = 29.13 + 56.56 + 82.36 + 106.62 + 129.39 + 5175.65 = 5579.71 دلار = \text{صورت کسر}$

قیمت فعلی اوراق قرضه:

$\text{Current Bond Price} = \sum_{t=1}^{6} \text{PV Cash Flows} = \frac{30}{(1 + 0.03)^1} + \frac{30}{(1 + 0.03)^2} + \dots + \frac{1030}{(1 + 0.03)^6} = 1000 دلار = \text{مخرج}$

(توجه داشته باشید که از آنجا که نرخ کوپن و نرخ بهره یکسان هستند، اوراق قرضه به ارزش اسمی معامله می‌شود.)

مدت مکاولی:

$\text{Macaulay Duration} = \frac{5579.71}{1000} = 5.58$

یک اوراق قرضه با پرداخت کوپن همیشه دارای مدتی کمتر از زمان تا سررسید خود خواهد بود. در مثال بالا، مدت 5.58 نیمه‌سال کمتر از زمان تا سررسید شش نیمه‌سال است. به عبارت دیگر، $5.58 \div 2 = 2.79$ سال، که کمتر از سه سال است.