میانگین هارمونیک چیست؟

میانگین هارمونیک چیست؟ میانگین هارمونیک یک نوع میانگین است که به‌ویژه برای میانگین‌گیری نسبت‌هایی مانند نسبت قیمت به درآمد (P/E) بسیار مفید است. این میانگین با تقسیم تعداد مقادیر در یک مجموعه بر مجموع معکوس‌های هر عدد محاسبه می‌شود. بنابراین، میانگین هارمونیک معکوس میانگین حسابی معکوس‌هاست.

نکات کلیدی

• میانگین هارمونیک معکوس میانگین حسابی معکوس‌هاست.
• در امور مالی برای میانگین‌گیری داده‌هایی مانند نسبت‌های قیمت استفاده می‌شود.
• میانگین هارمونیک به هر مقدار در یک مجموعه وزن برابر می‌دهد، در حالی که میانگین هارمونیک وزنی وزن‌های متفاوتی را بر اساس اهمیت مقدار تخصیص می‌دهد.
• میانگین هارمونیک همچنین توسط تحلیلگران بازار برای شناسایی الگوهایی مانند دنباله‌های فیبوناچی استفاده می‌شود.

فرمول و محاسبه برای محاسبه میانگین هارمونیک، معکوس هر عدد در مجموعه را بگیرید. آنها را جمع کنید. سپس تعداد مقادیر در مجموعه را بر آن مجموع تقسیم کنید. برای مثال، برای محاسبه میانگین هارمونیک اعداد ۱، ۴ و ۴، معکوس هر عدد را بگیرید. آنها را جمع کنید. سپس تعداد مقادیر را بر آن مجموع تقسیم کنید، به این صورت:

$\frac{3}{\left(\frac{1}{1} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4}\right)} = \frac{3}{1.5} = 2$

میانگین هارمونیک اعداد ۱، ۴ و ۴ برابر با ۲ است. مهم معکوس یک عدد $n$ به‌سادگی $\frac{1}{n}$ است.

استفاده از میانگین هارمونیک میانگین هارمونیک در امور مالی و تحلیل تکنیکال بازارهای اوراق بهادار کاربرد دارد. این میانگین به یافتن روابط ضرب یا تقسیم بین کسرها بدون نگرانی در مورد مخرج‌های مشترک کمک می‌کند. میانگین هارمونیک همچنین هنگام میانگین‌گیری نرخ‌ها، مانند سرعت متوسط سفر در چندین سفر، استفاده می‌شود. به‌ویژه، میانگین هارمونیک برای میانگین‌گیری نسبت‌ها (مانند نسبت قیمت به درآمد (P/E)) استفاده می‌شود زیرا به هر نقطه داده وزن برابر می‌دهد. این روش به دلیل رفتار برابر با داده‌ها، نتیجه‌ای کمتر دار و دقیق‌تر ارائه می‌دهد. همچنین میانگین هارمونیک وزنی وجود دارد که به مقادیر خاصی که اهمیت بیشتری دارند، وزن بیشتری اختصاص می‌دهد. میانگین هارمونیک وزنی برای $x_1, x_2, x_3$ با وزن‌های مربوطه $w_1, w_2, w_3$ به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:

$\frac{\sum_{i=1}^n w_i}{\sum_{i=1}^n \frac{w_i}{x_i}}$

میانگین حسابی و میانگین هندسی سه نوع میانگین، یعنی هارمونیک، حسابی و هندسی، به‌عنوان میانگین‌های فیثاغورثی شناخته می‌شوند. تفاوت‌های بین این سه نوع میانگین آنها را برای کاربردهای مختلف مناسب می‌کند. میانگین حسابی مجموع مجموعه‌ای از اعداد تقسیم بر تعداد آن مجموعه است. برای یافتن میانگین حسابی نمرات آزمون یک کلاس، کافی است تمام نمرات دانش‌آموزان را جمع کنید و سپس آن مجموع را بر تعداد دانش‌آموزان تقسیم کنید. میانگین حسابی وزنی به نقاط داده بالا وزن بیشتری نسبت به نقاط داده پایین می‌دهد (مثلاً در امور مالی، زیرا نسبت‌های P/E نرمال‌سازی شده بر اساس قیمت نیستند در حالی که درآمدها برابر شده‌اند). میانگین هندسی میانگین مجموعه‌ای از حاصل‌ضرب‌هاست که معمولاً برای تعیین نتایج عملکرد یک سرمایه‌گذاری یا پرتفوی استفاده می‌شود. این میانگین به‌صورت فنی به‌عنوان «ریشه $n$-ام حاصل‌ضرب $n$ عدد» تعریف می‌شود. میانگین هندسی باید هنگام کار با درصدها، که از مقادیر به دست می‌آیند، استفاده شود، در حالی که میانگین حسابی استاندارد با خود مقادیر کار می‌کند. واقعیت سریع میانگین هارمونیک برای کسرهایی مانند نرخ‌ها یا نسبت‌ها بهترین کاربرد را دارد.

مثال:

از میانگین هارمونیک یک شرکت دارای ارزش بازار ۱۰۰ میلیارد دلار و درآمد ۴ میلیارد دلار (P/E برابر با ۲۵) است، و شرکت دیگری دارای ارزش بازار ۱ میلیارد دلار و درآمد ۴ میلیون دلار (P/E برابر با ۲۵۰) است. فرض کنید می‌خواهید میانگین نسبت P/E را برای شاخصی که از این دو سهام تشکیل شده است، محاسبه کنید. با سرمایه‌گذاری ۱۰٪ در شرکت اول و ۹۰٪ در شرکت دوم، از فرمول میانگین هارمونیک وزنی برای محاسبه استفاده می‌کنید. بیایید همچنین میانگین هارمونیک وزنی را با میانگین حسابی وزنی مقایسه کنیم تا تفاوت آنها را ببینیم. میانگین نسبت P/E شاخص به‌صورت زیر است:

$\text{با استفاده از میانگین حسابی وزنی (WAM): } P/E = 0.1 \times 25 + 0.9 \times 250 = 227.5$
$\text{با استفاده از میانگین هارمونیک وزنی (WHM): } P/E = \frac{0.1 + 0.9}{\frac{0.1}{25} + \frac{0.9}{250}} \approx 131.6$

میانگین حسابی وزنی نسبت قیمت به درآمد را به‌طور قابل‌توجهی بیش از حد برآورد می‌کند.

مزایا و معایب

میانگین هارمونیک تمام مقادیر یک مجموعه را در نظر می‌گیرد و اگر هر یک از مقادیر غیرمجاز باشد، محاسبه آن غیرممکن است.

استفاده از میانگین هارمونیک وزنی امکان وزن‌دهی بیشتر به مقادیر کوچکتر در مجموعه را فراهم می‌کند و همچنین می‌توان آن را برای مجموعه‌ای که شامل مقادیر منفی است محاسبه کرد.

در مقایسه با میانگین حسابی و هندسی، میانگین هارمونیک منحنی مستقیم‌تری تولید می‌کند. با این حال، استفاده از میانگین هارمونیک معایبی نیز دارد. این روش نیازمند استفاده از معکوس‌های اعداد در مجموعه است، بنابراین محاسبه میانگین هارمونیک می‌تواند پیچیده و زمان‌بر باشد. همچنین محاسبه میانگین هارمونیک در صورتی که مجموعه شامل مقدار صفر باشد، امکان‌پذیر نیست. در نهایت، مقادیر بسیار بالا یا پایین در مجموعه تأثیر شدیدی بر نتایج میانگین هارمونیک دارند.

تفاوت بین میانگین هارمونیک و میانگین حسابی چیست؟

میانگین هارمونیک با تقسیم تعداد مقادیر در یک مجموعه بر مجموع معکوس‌های هر عدد محاسبه می‌شود. در مقابل، میانگین حسابی مجموع مجموعه‌ای از اعداد تقسیم بر تعداد مقادیر در آن مجموعه است. میانگین هارمونیک برابر با معکوس میانگین حسابی معکوس‌هاست.

میانگین هارمونیک چه زمانی استفاده می‌شود؟

میانگین هارمونیک برای کسرهایی مانند نرخ‌ها یا نسبت‌ها بهترین کاربرد را دارد. در امور مالی برای میانگین‌گیری نسبت‌های قیمت، مانند نسبت قیمت به درآمد (P/E) استفاده می‌شود. تحلیلگران بازار همچنین ممکن است از میانگین هارمونیک برای شناسایی الگوهایی مانند دنباله‌های فیبوناچی استفاده کنند.

چه چیزی بر محاسبه میانگین هارمونیک تأثیر می‌گذارد؟

میانگین هارمونیک تمام مقادیر یک مجموعه را شامل می‌شود و به مقادیر کوچکتر وزن بیشتری می‌دهد. میانگین هارمونیک می‌تواند برای مجموعه‌ای که شامل مقادیر منفی است محاسبه شود، اگرچه وقتی مجموعه شامل مقدار صفر باشد، محاسبه آن غیرممکن است.

نتیجه‌گیری

میانگین هارمونیک با تقسیم تعداد مقادیر در یک مجموعه بر مجموع معکوس‌های هر عدد محاسبه می‌شود. میانگین هارمونیک از دیگر انواع میانگین‌های فیثاغورثی میانگین حسابی و هندسی با استفاده از معکوس‌ها و دادن وزن بیشتر به مقادیر کوچکتر، در صورت نیاز، متمایز می‌شود.