انحراف معیار چیست؟

انحراف معیار یک معیار آماری است که بررسی می‌کند نقاط داده در یک مجموعه داده تا چه حد از میانگین آن مجموعه پراکنده هستند. این معیار به‌عنوان ریشه دوم واریانس محاسبه می‌شود. اگر نقاط داده از میانگین دور باشند، انحراف بیشتری در مجموعه داده وجود دارد.

نکات کلیدی

• انحراف معیار برای اندازه‌گیری پراکندگی مقادیر مجموعه داده نسبت به میانگین استفاده می‌شود.

• این معیار به‌عنوان ریشه دوم واریانس محاسبه می‌شود.

• در امور مالی، انحراف معیار اغلب به‌عنوان معیاری برای ریسک نسبی یک دارایی استفاده می‌شود.

• یک سهام پرنوسان انحراف معیار بالایی دارد، در حالی که انحراف معیار یک سهام پایدار (مانند سهام شرکت‌های بزرگ و معتبر) معمولاً نسبتاً پایین است.

• انحراف معیار همچنین توسط کسب‌وکارها برای ارزیابی ریسک، مدیریت عملیات تجاری و برنامه‌ریزی جریان نقدی بر اساس تغییرات فصلی و نوسانات استفاده می‌شود.

درک انحراف معیار

انحراف معیار یک معیار آماری است که اغلب در امور مالی، به‌ویژه در سرمایه‌گذاری، استفاده می‌شود.

برای نوسانات قیمت

هنگامی که انحراف معیار برای نرخ بازده سالانه یک سرمایه‌گذاری اعمال می‌شود، می‌تواند اطلاعاتی درباره نوسانات تاریخی آن سرمایه‌گذاری ارائه دهد. این به این معناست که نشان می‌دهد قیمت آن سرمایه‌گذاری در طول زمان تا چه حد نوسان داشته است. هرچه انحراف معیار اوراق بهادار بیشتر باشد، واریانس بین هر قیمت و میانگین بیشتر است، که نشان‌دهنده دامنه قیمتی بزرگ‌تری است. به‌عنوان مثال، یک سهام پرنوسان انحراف معیار بالایی دارد، به این معنی که قیمت آن به‌طور مکرر بالا و پایین می‌رود. از سوی دیگر، انحراف معیار یک سهام پایدار شرکت‌های بزرگ و معتبر معمولاً نسبتاً پایین است، به این معنی که قیمت آن معمولاً پایدار است.

برای روندهای قیمت

انحراف معیار همچنین می‌تواند برای پیش‌بینی روندهای عملکرد استفاده شود. در سرمایه‌گذاری، به‌عنوان مثال، یک صندوق شاخص برای بازتاب یک شاخص معیار طراحی شده است. این به این معناست که این صندوق باید انحراف معیار پایینی نسبت به ارزش معیار داشته باشد. از سوی دیگر، صندوق‌های رشد تهاجمی اغلب انحراف معیار بالایی نسبت به شاخص‌های سهام مرتبط دارند. این به این دلیل است که مدیران پرتفوی آن‌ها شرط‌بندی‌های تهاجمی برای ایجاد بازده بالاتر از میانگین انجام می‌دهند. این انحراف معیار بالاتر با سطح ریسکی که سرمایه‌گذاران می‌توانند از آن شاخص انتظار داشته باشند، همبستگی دارد. انحراف معیار یکی از معیارهای کلیدی ریسک بنیادی است که تحلیلگران، مدیران پرتفوی و مشاوران استفاده می‌کنند. شرکت‌های سرمایه‌گذاری انحراف معیار صندوق‌های مشترک و سایر محصولات خود را گزارش می‌دهند. پراکندگی زیاد نشان می‌دهد که بازده صندوق تا چه حد از بازده‌های مورد انتظار معمولی منحرف می‌شود. از آنجا که این معیار به‌راحتی قابل‌فهم است، این آمار به‌طور منظم به مشتریان نهایی و سرمایه‌گذاران گزارش می‌شود.

هشدار:

انحراف معیار تمام عدم قطعیت‌ها را به‌عنوان ریسک محاسبه می‌کند، حتی زمانی که به نفع سرمایه‌گذار است—مانند بازده‌های بالاتر از میانگین.

فرمول انحراف معیار

انحراف معیار با گرفتن ریشه دوم مقداری که از مقایسه نقاط داده با میانگین کل یک جمعیت به دست می‌آید، محاسبه می‌شود. فرمول آن به شرح زیر است:

[ \text{انحراف معیار} = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n-1}} ]

که در آن:

• (x_i): مقدار نقطه (i)ام در مجموعه داده

• (\bar{x}): میانگین مقدار مجموعه داده

• (n): تعداد نقاط داده در مجموعه داده

محاسبه انحراف معیار

انحراف معیار به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:

1. میانگین تمام نقاط داده را محاسبه کنید: مقادیر نقاط داده را جمع کنید و بر تعداد نقاط داده تقسیم کنید.

2. واریانس هر نقطه داده را محاسبه کنید: میانگین را از مقدار نقطه داده کم کنید.

3. واریانس هر نقطه داده (از مرحله ۲) را به توان دو برسانید.

4. مقادیر واریانس‌های به توان دو رسیده (از مرحله ۳) را جمع کنید.

5. مجموع مقادیر واریانس‌های به توان دو رسیده (از مرحله ۴) را بر تعداد نقاط داده در مجموعه داده منهای ۱ تقسیم کنید.

6. ریشه دوم کسر (از مرحله ۵) را بگیرید.

ویژگی‌های کلیدی انحراف معیار

• یکی از ویژگی‌های کلیدی انحراف معیار، قابلیت جمع‌پذیری آن است. این به این معناست که تحلیلگران یا محققانی که از انحراف معیار استفاده می‌کنند، تعداد زیادی از نقاط داده را مقایسه می‌کنند، نه اینکه صرفاً بر اساس تحلیل نقاط داده تکی نتیجه‌گیری کنند. قابلیت جمع‌پذیری منجر به درجه دقت بالاتری می‌شود.

• ویژگی دیگر انحراف معیار، عدم تغییر نسبت به مقیاس است. این ویژگی به‌ویژه در مقایسه پراکندگی مجموعه‌های داده با واحدهای اندازه‌گیری مختلف مفید است. به‌عنوان مثال، اگر یک مجموعه داده به اینچ و دیگری به سانتی‌متر اندازه‌گیری شده باشد، انحراف معیار آن‌ها را می‌توان مستقیماً بدون نیاز به تبدیل واحدها مقایسه کرد.

• در نهایت، انحراف معیار دارای ویژگی‌های تقارن و غیرمنفی بودن است. این به این معناست که انحراف معیار همیشه مثبت است و به‌صورت متقارن حول میانگین توزیع شده است. این ویژگی تقارن به این معناست که انحرافات بالاتر از میانگین با انحرافات پایین‌تر از میانگین متعادل می‌شوند و در نتیجه کل مجموعه داده متعادل می‌شود. ویژگی همیشه مثبت بودن به این معناست که انحراف معیار هنگام مقایسه انحراف معیارها در مجموعه‌های داده مختلف، قابلیت مقایسه بالاتری دارد.

انحراف معیار در مقابل واریانس

واریانس و انحراف معیار آمارهای مرتبط هستند. واریانس با گرفتن میانگین نقاط داده، کسر میانگین از هر نقطه داده به‌صورت جداگانه، به توان دو رساندن هر یک از این نتایج و سپس گرفتن میانگین این مربعات به دست می‌آید. انحراف معیار ریشه دوم واریانس است. واریانس به تعیین اندازه پراکندگی داده‌ها در مقایسه با مقدار میانگین کمک می‌کند. هرچه واریانس بزرگ‌تر شود، تغییرات بیشتری در مقادیر داده رخ می‌دهد و ممکن است شکاف بزرگ‌تری بین یک مقدار داده و دیگری وجود داشته باشد. اگر مقادیر داده همگی به هم نزدیک باشند، واریانس کوچک‌تر خواهد بود. با این حال، درک این موضوع دشوارتر از انحراف معیار است زیرا واریانس‌ها نتیجه‌ای به توان دو را نشان می‌دهند که ممکن است به‌طور معنادار در همان نمودار مجموعه داده اصلی نمایش داده نشود. انحراف معیارها معمولاً راحت‌تر قابل‌تصور و اعمال هستند. انحراف معیار با همان واحد اندازه‌گیری داده‌ها بیان می‌شود، که لزوماً در مورد واریانس صدق نمی‌کند. با استفاده از انحراف معیار، statisticians می‌توانند تعیین کنند که آیا داده‌ها دارای منحنی نرمال یا رابطه ریاضی دیگری هستند. اگر داده‌ها در یک منحنی نرمال رفتار کنند، ۶۸٪ از نقاط داده در یک انحراف معیار از میانگین یا مقدار متوسط داده قرار می‌گیرند. واریانس‌های بزرگ‌تر باعث می‌شوند نقاط داده بیشتری خارج از انحراف معیار قرار گیرند. واریانس‌های کوچک‌تر منجر به داده‌های بیشتری می‌شوند که به میانگین نزدیک هستند.

مهم:

انحراف معیار به‌صورت گرافیکی به‌عنوان عرض منحنی زنگوله‌ای حول میانگین یک مجموعه داده به تصویر کشیده می‌شود. هرچه منحنی عریض‌تر باشد، انحراف معیار مجموعه داده از میانگین بزرگ‌تر است.

کاربرد انحراف معیار در کسب‌وکار

انحراف معیار تنها در سرمایه‌گذاری استفاده نمی‌شود. تحلیلگران کسب‌وکار یا شرکت‌ها می‌توانند از انحراف معیار به روش‌های مختلفی برای ارزیابی ریسک، پیش‌بینی و مدیریت عملیات شرکت استفاده کنند.

مدیریت ریسک

انحراف معیار به‌طور گسترده در کسب‌وکار برای مدیریت ریسک استفاده می‌شود. این به کسب‌وکارها کمک می‌کند تا انواع مختلف ریسک‌ها را کمی کرده و مدیریت کنند. با محاسبه انحراف معیار نتایج خاص، کسب‌وکارها می‌توانند نوسانات یا عدم قطعیت مرتبط با نحوه عملکرد خود را ارزیابی کنند. به‌عنوان مثال، یک شرکت می‌تواند از انحراف معیار برای اندازه‌گیری ریسک بازگشت محصولات مختلف استفاده کند.

تحلیل مالی

در امور مالی و حسابداری، انحراف معیار برای تحلیل داده‌های مالی و ارزیابی پراکندگی معیارهای عملکرد مالی استفاده می‌شود. به‌عنوان مثال، انحراف معیار برای اندازه‌گیری نوسانات بازده سرمایه‌گذاری به کار می‌رود. این می‌تواند برای تعیین تعادل ریسک-بازده و استراتژی نحوه استقرار سرمایه توسط یک شرکت استفاده شود.

پیش‌بینی

انحراف معیار در پیش‌بینی فروش برای ارزیابی پراکندگی داده‌های فروش و پیش‌بینی روندهای فروش آینده استفاده می‌شود. این به کسب‌وکارها کمک می‌کند تا فصلی بودن، روندها و الگوهای داده‌های فروش را شناسایی کنند که به آن‌ها امکان می‌دهد برای نیازهای نقدی در آینده نزدیک برنامه‌ریزی کنند.

کنترل کیفیت

در مدیریت تولید و عملیات، انحراف معیار برای نظارت و بهبود کیفیت محصول استفاده می‌شود. همچنین در فرآیندهای کنترل کیفیت مانند روش‌های شش سیگما برای اندازه‌گیری قابلیت فرآیند، کاهش نقص‌ها و بهینه‌سازی فرآیندهای تولید برای بهبود کیفیت و رضایت مشتری استفاده می‌شود.

مدیریت پروژه

انحراف معیار در مدیریت پروژه برای ارزیابی عملکرد پروژه و مدیریت ریسک‌ها استفاده می‌شود. به‌عنوان مثال، انحراف معیار می‌تواند تحلیل مسیر بحرانی و ارزش کسب‌شده را ارزیابی کند. این می‌تواند برای سنجش واریانس‌ها، ردیابی پیشرفت و کمی کردن ریسک مرتبط با عدم دستیابی به مسیر بحرانی یا ارزش کسب‌شده استفاده شود.

نقاط قوت و محدودیت‌های انحراف معیار

مانند هر معیار آماری برای تحلیل داده‌ها، انحراف معیار دارای نقاط قوت و محدودیت‌هایی است که باید در نظر گرفته شوند.

نقاط قوت

• رایج بودن: انحراف معیار یک معیار پراکندگی رایج است. بسیاری از تحلیلگران احتمالاً با انحراف معیار در مقایسه با سایر محاسبات آماری انحراف داده آشنا هستند. به همین دلیل، انحراف معیار توسط حرفه‌های مختلفی از سرمایه‌گذاران تا actuaries استفاده می‌شود.

• شامل تمام نقاط داده: انحراف معیار شامل تمام مشاهدات است. هر نقطه داده در تحلیل گنجانده می‌شود. سایر معیارهای انحراف مانند دامنه تنها نقاط پراکنده‌ترین را بدون در نظر گرفتن نقاط میانی اندازه‌گیری می‌کنند. بنابراین، انحراف معیار اغلب به‌عنوان یک معیار قوی‌تر و دقیق‌تر در مقایسه با سایر مشاهدات در نظر گرفته می‌شود.

• قابلیت ترکیب مجموعه‌های داده: انحراف معیار دو مجموعه داده می‌تواند با استفاده از فرمول خاص انحراف معیار ترکیبی ترکیب شود. فرمول‌های مشابهی برای سایر معیارهای مشاهده پراکندگی در آمار وجود ندارد.

• کاربردهای محاسباتی اضافی: برخلاف سایر روش‌های مشاهده، انحراف معیار می‌تواند در محاسبات جبری اضافی استفاده شود، به این معنی که انحراف معیار دارای مقداری تطبیق‌پذیری است.

محدودیت‌ها

• عدم اندازه‌گیری پراکندگی: انحراف معیار در واقع فاصله یک نقطه داده از میانگین را اندازه‌گیری نمی‌کند. در عوض، مربع تفاوت‌ها را مقایسه می‌کند، تفاوت ظریف اما قابل‌توجهی با پراکندگی واقعی از میانگین.

• تأثیر نقاط پرت: نقاط پرت تأثیر سنگین‌تری بر انحراف معیار دارند. این به‌ویژه به این دلیل صادق است که تفاوت از میانگین به توان دو می‌رسد، که منجر به مقداری حتی بزرگ‌تر در مقایسه با سایر نقاط داده می‌شود. بنابراین، باید توجه داشت که مشاهده استاندارد به‌طور طبیعی به مقادیر شدید وزن بیشتری می‌دهد.

• محاسبه دستی تا حدی دشوار: برخلاف سایر معیارهای پراکندگی مانند دامنه (بالاترین مقدار منهای پایین‌ترین مقدار)، انحراف معیار نیازمند چندین مرحله محاسباتی پیچیده است و احتمال خطای محاسباتی بیشتری در مقایسه با معیارهای ساده‌تر دارد. این مانع می‌تواند از طریق استفاده از ترمینال بلومبرگ دور زده شود.

نکته

از اکسل برای محاسبه انحراف معیار استفاده کنید. پس از وارد کردن داده‌های خود، اگر مجموعه داده شما عددی است از فرمول STDEV.S استفاده کنید یا اگر می‌خواهید مقادیر متنی یا منطقی را شامل کنید از STDEVA استفاده کنید. همچنین فرمول‌های خاصی برای محاسبه انحراف معیار برای کل جمعیت وجود دارد.

نمونه‌های انحراف معیار

اگر نقاط داده ۵، ۷، ۳ و ۷ را داشته باشید و بخواهید انحراف معیار را پیدا کنید، ابتدا آن‌ها را با هم جمع کنید: [ ۵ + ۷ + ۳ + ۷ = ۲۲ ] میانگین مجموعه داده را با تقسیم مجموع بر تعداد نقاط داده، یعنی ۴ (طبق فرمول بالا، (n)) پیدا کنید: [ ۲۲ / ۴ = ۵.۵ ] این به شما میانگین ۵.۵ ((\bar{x})) را می‌دهد. برای پیدا کردن واریانس، میانگین را از هر نقطه داده کم کنید، سپس هر یک از این مقادیر را به توان دو برسانید: [ ۵ - ۵.۵ = -۰.۵ \times -۰.۵ = ۰.۲۵ ] [ ۷ - ۵.۵ = ۱.۵ \times ۱.۵ = ۲.۲۵ ] [ ۳ - ۵.۵ = -۲.۵ \times -۲.۵ = ۶.۲۵ ] [ ۷ - ۵.۵ = ۱.۵ \times ۱.۵ = ۲.۲۵ ] مقادیر به توان دو رسیده را جمع کنید، سپس نتیجه را بر (n-1) تقسیم کنید تا واریانس به دست آید: [ (۰.۲۵ + ۲.۲۵ + ۶.۲۵ + ۲.۲۵) / (۴-۱) = ۳.۶۷ ] ریشه دوم ۳.۶۷ را بگیرید تا انحراف معیار را پیدا کنید که تقریباً ۱.۹۱۵ است.

نوسانات قیمت سهام اپل

یا سهام اپل (AAPL) را در پنج سال خاص در نظر بگیرید. بازده‌های تاریخی سهام اپل عبارت بودند از ۸۸.۹۷٪ برای سال ۲۰۱۹، ۸۲.۳۱٪ برای ۲۰۲۰، ۳۴.۶۵٪ برای ۲۰۲۱، -۲۶.۴۱٪ برای ۲۰۲۲ و ۲۸.۳۲٪ در آوریل ۲۰۲۳. میانگین بازده در این پنج سال بنابراین ۴۱.۵۷٪ بود. مقدار بازده هر سال منهای میانگین به ترتیب ۴۷.۴٪، ۴۰.۷۴٪، -۶.۹۲٪، -۶۷.۹۸٪ و -۱۵.۵۷٪ بود. همه این مقادیر سپس به توان دو می‌رسند و به ۲۲.۴۷٪، ۱۶.۶۰٪، ۰.۴۸٪، ۴۶.۲۱٪ و ۲.۴۲٪ تبدیل می‌شوند. مجموع این مقادیر ۰.۸۸۲ است. این مقدار را بر ۴ ((N) منهای ۱) تقسیم کنید تا واریانس به دست آید ((۰.۸۸۲/۴)) = ۰.۲۲۰. ریشه دوم واریانس گرفته می‌شود تا انحراف معیار ۰.۴۶۹۰ یا ۴۶.۹۰٪ به دست آید.

انحراف معیار بالا به چه معناست؟

انحراف معیار بالا نشان می‌دهد که پراکندگی زیادی در داده‌های مشاهده‌شده حول میانگین برای داده‌ها به‌عنوان یک گروه وجود دارد. انحراف معیار کوچک یا پایین نشان می‌دهد که بخش زیادی از داده‌های مشاهده‌شده به‌طور تنگاتنگ حول میانگین جمع شده‌اند.

انحراف معیار چه چیزی به شما می‌گوید؟

انحراف معیار نشان می‌دهد که یک مجموعه داده تا چه حد پراکنده است. این هر نقطه داده را با میانگین تمام نقاط داده مقایسه می‌کند و نشان می‌دهد که آیا نقاط داده نزدیک به میانگین هستند یا پراکنده‌اند. در یک توزیع نرمال، انحراف معیار به شما می‌گوید که مقادیر تا چه حد از میانگین فاصله دارند.

چگونه می‌توانید انحراف معیار را به‌سرعت پیدا کنید؟

اگر به نمایش گرافیکی توزیع برخی داده‌های مشاهده‌شده نگاه کنید، می‌توانید ببینید که آیا شکل آن نسبتاً باریک است یا پهن. توزیع‌های پهن‌تر انحراف معیار بزرگ‌تری دارند. به‌طور جایگزین، اکسل دارای توابع انحراف معیار داخلی بسته به مجموعه داده است.

آیا انحراف معیار پایین‌تر در سرمایه‌گذاری بهتر است؟

انحراف معیار پایین‌تر لزوماً بهتر نیست. این نشان‌دهنده ریسک کمتر است، که ممکن است سرمایه‌گذاران آن را ترجیح دهند یا ندهند. هنگام ارزیابی میزان انحراف در پرتفوی خود، سرمایه‌گذاران باید تحمل خود برای نوسانات و اهداف کلی سرمایه‌گذاری خود را در نظر بگیرند. سرمایه‌گذاران تهاجمی‌تر ممکن است با یک استراتژی سرمایه‌گذاری که وسایل نقلیه با نوسانات بالاتر از میانگین را انتخاب می‌کند راحت باشند، در حالی که سرمایه‌گذاران محافظه‌کارتر ممکن است این‌طور نباشند.

نتیجه‌گیری

انحراف معیار راهی برای ارزیابی ریسک است، به‌ویژه در کسب‌وکار و سرمایه‌گذاری. این از فاصله نقاط در یک مجموعه داده از میانگین آن مجموعه داده استفاده می‌کند تا میزان پراکندگی مجموعه را پیدا کند و بنابراین، میزان نوسان آن در طول زمان را نشان دهد. سرمایه‌گذاران می‌توانند از انحراف معیار برای تعیین میزان پایداری یا قابل‌پیش‌بینی بودن یک سرمایه‌گذاری استفاده کنند. کسب‌وکارها از انحراف معیار برای ارزیابی ریسک، مدیریت عملیات و برنامه‌ریزی جریان نقدی استفاده می‌کنند. مانند هر معیار آماری دیگر، انحراف معیار دارای نقاط قوت و محدودیت‌هایی است که باید هنگام استفاده از آن در نظر گرفته شوند.