واریانس چیست؟

واریانس چیست؟

واریانس یک معیار آماری است که میزان پراکندگی داده‌ها در یک مجموعه را نشان می‌دهد. این معیار فاصله هر عدد در مجموعه از میانگین (متوسط) و در نتیجه از سایر اعداد مجموعه را اندازه‌گیری می‌کند. واریانس معمولاً با نماد σ² نشان داده می‌شود. ریشه مربع واریانس، انحراف معیار (SD یا σ) است که به تعیین ثبات بازده سرمایه‌گذاری در طول زمان کمک می‌کند.

نکات کلیدی

• واریانس معیاری است که نشان می‌دهد اعداد یک مجموعه داده تا چه حد از هم فاصله دارند.
• این معیار میزان پراکندگی داده‌ها حول میانگین نمونه را اندازه‌گیری می‌کند.
• سرمایه‌گذاران از واریانس برای ارزیابی میزان ریسک یک سرمایه‌گذاری و سودآوری آن استفاده می‌کنند.
• واریانس در مالی برای مقایسه عملکرد نسبی هر دارایی در پرتفوی جهت تخصیص بهینه دارایی‌ها به کار می‌رود.
• ریشه مربع واریانس، انحراف معیار است.

درک واریانس

در آمار، واریانس میزان تغییرات داده‌ها نسبت به میانگین را اندازه‌گیری می‌کند. این معیار با محاسبه تفاوت هر عدد در مجموعه داده با میانگین، به توان دو رساندن این تفاوت‌ها برای مثبت شدن آن‌ها، و سپس تقسیم مجموع مربعات بر تعداد مقادیر در مجموعه داده محاسبه می‌شود. نرم‌افزارهایی مانند اکسل می‌توانند این محاسبه را آسان‌تر کنند.

واریانس با استفاده از فرمول زیر محاسبه می‌شود:

$\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \overline{x})^2}{N}$

که در آن:

• $x_i$: هر مقدار در مجموعه داده
• $\overline{x}$: میانگین تمام مقادیر در مجموعه داده
• $N$: تعداد مقادیر در مجموعه داده

نکته

برای محاسبه واریانس در زمینه‌های غیر از سرمایه‌گذاری و معاملات، می‌توان فرمول بالا را با تغییرات اندک استفاده کرد. به عنوان مثال، برای تخمین واریانس جامعه از واریانس نمونه، مخرج معادله به $N-1$ تغییر می‌کند تا تخمین بدون تورش باشد و واریانس جامعه را دست‌کم نگیرد.

مزایا و معایب استفاده از واریانس

مانند هر روش تحلیل داده، واریانس نیز مزایا و محدودیت‌هایی دارد.

مزایا

• سادگی: واریانس یک معیار ساده است که آماردانان می‌توانند از آن برای بررسی ارتباط اعداد در یک مجموعه داده استفاده کنند، به جای استفاده از تکنیک‌های پیچیده‌تر مانند مرتب‌سازی اعداد در چارک‌ها.
• برخورد یکسان با انحرافات: واریانس تمام انحرافات از میانگین را بدون توجه به جهت آن‌ها به یک شکل در نظر می‌گیرد. این امکان را به تحلیلگران و سرمایه‌گذاران می‌دهد تا دامنه کامل ریسک و تغییرات در مجموعه داده را ببینند.
• جلوگیری از ظاهر بدون تغییر: انحرافات به توان دو نمی‌توانند جمع صفر شوند و ظاهری از نبود تغییرات در داده‌ها ایجاد کنند، که از برخی تفسیرهای نادرست جلوگیری می‌کند.

معایب

• وزن‌دهی بیشتر به داده‌های پرت: داده‌های پرت (دور از میانگین) به دلیل به توان دو شدن، وزن بیشتری می‌گیرند که می‌تواند داده‌ها را منحرف کند.
• استفاده محدود به تنهایی: واریانس اغلب به‌عنوان پایه‌ای برای محاسبه انحراف معیار استفاده می‌شود و به‌تنهایی کمتر به کار می‌رود. سرمایه‌گذاران از انحراف معیار برای ارزیابی ثبات بازده در طول زمان استفاده می‌کنند.

مزایا

• سادگی
• برخورد یکسان با انحرافات
• جلوگیری از ظاهر بدون تغییر

معایب

• وزن‌دهی بیشتر به داده‌های پرت
• استفاده محدود به تنهایی

نکته مهم

در برخی موارد، ریسک یا نوسان‌پذیری ممکن است به‌صورت انحراف معیار به جای واریانس بیان شود، زیرا انحراف معیار اغلب راحت‌تر تفسیر می‌شود.

مثال واریانس در مالی

اگر بازده سهام شرکت ABC در سال اول ۱۰٪، در سال دوم ۲۰٪ و در سال سوم ۱۵٪- باشد، میانگین این سه بازده به صورت زیر است:

$(10\% + 20\% + (-15\%)) / 3 = 5\%$

تفاوت هر بازده با میانگین عبارت است از:

$10\% - 5\% = 5\%$
$20\% - 5\% = 15\%$
$-15\% - 5\% = -20\%$

مربع این انحرافات به این صورت است: ۰.۲۵٪ برای سال اول، ۲.۲۵٪ برای سال دوم و ۴.۰۰٪ برای سال سوم.

برای محاسبه واریانس، این مربعات را جمع کرده و سپس بر تعداد نقاط داده منهای یک تقسیم می‌کنیم:

$\text{واریانس} = \frac{0.25\% + 2.25\% + 4.00\%}{3-1} = \frac{6.5\%}{2} = 3.25\% = 0.0325$

برای محاسبه انحراف معیار مجموعه داده مشابه، ریشه مربع واریانس را می‌گیریم:

$\text{انحراف معیار} = \sqrt{0.0325} = 0.180 = 18\%$

مراحل محاسبه واریانس چیست؟

برای محاسبه واریانس، مراحل زیر را دنبال کنید:

1. میانگین داده‌ها را محاسبه کنید.
2. تفاوت هر نقطه داده با میانگین را پیدا کنید.
3. هر یک از این تفاوت‌ها را به توان دو برسانید.
4. مجموع این مقادیر به توان دو را محاسبه کنید.
5. مجموع را بر $n-1$ (برای نمونه) یا $N$(برای کل جامعه) تقسیم کنید.

واریانس برای چه استفاده می‌شود؟

واریانس میزان پراکندگی داده‌ها از میانگین را اندازه‌گیری می‌کند. این معیار نشان‌دهنده میزان تغییرات بین نقاط داده است. از نظر بصری، هرچه واریانس بیشتر باشد، توزیع احتمال "چاق‌تر" خواهد بود. در مالی، اگر سرمایه‌گذاری واریانس بیشتری داشته باشد، ممکن است به‌عنوان پرریسک‌تر یا نوسان‌پذیرتر تلقی شود.

چرا انحراف معیار بیشتر از واریانس استفاده می‌شود؟

انحراف معیار ریشه مربع واریانس است. این معیار گاهی مفیدتر است، زیرا با حذف واحدها از تحلیل، امکان مقایسه مستقیم بین چیزهایی با واحدها یا مقیاس‌های مختلف را فراهم می‌کند. برای مثال، گفتن اینکه افزایش یک واحد در X باعث افزایش دو انحراف معیار در Y می‌شود، به شما امکان می‌دهد رابطه بین X و Y را بدون توجه به واحدهای آن‌ها درک کنید.

نتیجه‌گیری

واریانس میزان تغییرات یا پراکندگی اعداد در یک مجموعه داده نسبت به میانگین را اندازه‌گیری می‌کند. این معیار توسط متخصصان مختلف از جمله تحلیلگران داده، ریاضیدانان، دانشمندان، آماردانان و سرمایه‌گذاران استفاده می‌شود. دو گروه آخر از واریانس برای تصمیم‌گیری در مورد خرید، فروش یا نگهداری اوراق بهادار استفاده می‌کنند. برای مثال، اگر سرمایه‌گذاری واریانس بیشتری داشته باشد، ممکن است به‌عنوان پرنوسان و پرریسک تلقی شود.