آمار، شاخه‌ای از ریاضیات کاربردی است که شامل جمع‌آوری، توصیف، تحلیل و تفسیر داده‌های استخراج‌شده از نمونه‌ای از جمعیت بزرگ‌تر می‌شود. نمونه‌گیری آماری در پزشکی، امور مالی، بازاریابی و بسیاری از زمینه‌های دیگر برای افزایش درک و اطلاع‌رسانی به تصمیم‌گیری استفاده می‌شود. نظریه‌های ریاضی پشت آمار به شدت به حساب دیفرانسیل و انتگرال، جبر خطی و نظریه احتمال تکیه دارند.
نکات کلیدی
- آمار شامل محاسبه احتمالات ریاضی بر اساس داده‌های جمع‌آوری‌شده از یک گروه نمونه است.
- دو حوزه عمده آمار، توصیفی و استنباطی هستند.
- کار متخصصان آمار در تقریباً تمام رشته‌های علمی و همچنین در امور مالی، پزشکی، علوم انسانی، دولت و تولید استفاده می‌شود.
درک آمار
آمار در تقریباً تمام رشته‌های علمی مانند علوم فیزیکی و اجتماعی و همچنین در کسب‌وکار، پزشکی، علوم انسانی، دولت و تولید استفاده می‌شود. آمار، شاخه‌ای از ریاضیات کاربردی شامل حساب دیفرانسیل و جبر خطی است که از کاربرد ابزارهای ریاضی به نظریه احتمال توسعه یافته است. ایده این است که می‌توانیم درباره ویژگی‌های مجموعه‌های بزرگ اشیاء یا رویدادها (جمعیت) با مطالعه ویژگی‌های تعداد کمتری از اشیاء یا رویدادهای مشابه (نمونه) بیاموزیم. جمع‌آوری داده‌های جامع درباره کل جمعیت در بسیاری از موارد بیش از حد پرهزینه، دشوار یا غیرممکن است، بنابراین آمار با نمونه‌ای شروع می‌شود که می‌تواند به راحتی یا با هزینه مقرون‌به‌صرفه مشاهده شود. متخصصان آمار داده‌ها را درباره افراد یا عناصر یک نمونه اندازه‌گیری و جمع‌آوری می‌کنند و این داده‌ها را تحلیل می‌کنند تا آمار توصیفی تولید کنند. سپس می‌توانند از این ویژگی‌های مشاهده‌شده داده‌های نمونه برای استنتاج یا حدس‌های آگاهانه درباره ویژگی‌های اندازه‌گیری‌نشده جمعیت گسترده‌تر استفاده کنند. این‌ها به عنوان پارامترها شناخته می‌شوند.
واقعیت مهم:
آمار به قرن‌ها پیش بازمی‌گردد. یک رکورد اولیه از مکاتبات بین ریاضیدانان فرانسوی پیر دو فرما و بلز پاسکال در سال ۱۶۵۴ اغلب به عنوان مثالی اولیه از تحلیل احتمال آماری ذکر می‌شود.
آمار توصیفی و استنباطی
دو حوزه عمده آمار، آمار توصیفی و آمار استنباطی هستند. آمار توصیفی ویژگی‌های داده‌های نمونه و جمعیت را توصیف می‌کند. آمار استنباطی از آن ویژگی‌ها برای آزمون فرضیه‌ها و نتیجه‌گیری استفاده می‌کند. آمار توصیفی شامل میانگین یا متوسط، واریانس، چولگی و کورتیسیس است. آمار استنباطی شامل تحلیل رگرسیون خطی، تحلیل واریانس یا ANOVA، مدل‌های لجیت/پروبیت و آزمون فرضیه صفر است.
آمار توصیفی
آمار توصیفی عمدتاً بر تمایل مرکزی، تغییرات‌پذیری و توزیع داده‌های نمونه تمرکز دارد. تمایل مرکزی به تخمین ویژگی‌ها، عنصر معمولی یک نمونه یا جمعیت اشاره دارد. این شامل آمار توصیفی مانند میانگین، میانه و مد است. تغییرات‌پذیری به مجموعه‌ای از آمار اشاره دارد که نشان می‌دهد چقدر تفاوت در میان عناصر یک نمونه یا جمعیت در امتداد ویژگی‌های اندازه‌گیری‌شده وجود دارد. این شامل معیارهایی مانند دامنه، واریانس و انحراف استاندارد است. توزیع به شکل کلی داده‌ها اشاره دارد. این می‌تواند در چارتی مانند هیستوگرام یا پلات نقطه‌ای نشان داده شود و شامل ویژگی‌هایی مانند تابع توزیع احتمال، چولگی و کورتیسیس است. آمار توصیفی همچنین می‌تواند تفاوت‌های بین ویژگی‌های مشاهده‌شده عناصر یک مجموعه داده را توصیف کند. آن‌ها می‌توانند به ما کمک کنند تا ویژگی‌های جمعی عناصر یک نمونه داده را درک کنیم و پایه‌ای برای آزمون فرضیه‌ها و پیش‌بینی با استفاده از آمار استنباطی تشکیل دهند.
آمار استنباطی
آمار استنباطی ابزاری است که توسط متخصصان آمار برای نتیجه‌گیری درباره ویژگی‌های یک جمعیت استفاده می‌شود. این از ویژگی‌های یک نمونه استخراج می‌شود. همچنین برای تعیین اینکه متخصص آمار چقدر می‌تواند از قابلیت اطمینان آن نتیجه‌گیری‌ها مطمئن باشد، استفاده می‌شود. متخصصان آمار می‌توانند احتمال اینکه آمار تصویری دقیق از پارامترهای مربوطه کل جمعیت که نمونه از آن استخراج شده، بر اساس اندازه نمونه و توزیع ارائه دهد، محاسبه کنند. آمار استنباطی برای تعمیم درباره گروه‌های بزرگ استفاده می‌شود مانند تخمین تقاضای متوسط برای یک محصول با نظرسنجی عادات خرید نمونه‌ای از مصرف‌کنندگان یا تلاش برای پیش‌بینی رویدادهای آینده. این ممکن است به معنای پیش‌بینی بازده آینده یک اوراق بهادار یا کلاس دارایی بر اساس بازده‌ها در دوره نمونه باشد. تحلیل رگرسیون تکنیکی پرکاربرد استنباط آماری است. این برای تعیین قدرت و طبیعت رابطه بین یک متغیر وابسته و یک یا چند متغیر توضیحی یا مستقل استفاده می‌شود. خروجی مدل رگرسیون اغلب برای اهمیت آماری تحلیل می‌شود. نتیجه از یافته‌های تولیدشده توسط آزمون یا آزمایش‌گیری بعید است که به طور تصادفی یا شانسی رخ داده باشد. اهمیت آماری پیشنهاد می‌کند که نتایج قابل attribution به علت خاصی است که توسط داده‌ها توضیح داده شده است.
نکته مهم:
داشتن اهمیت آماری برای رشته‌های دانشگاهی یا متخصصانی که به شدت به تحلیل داده‌ها و تحقیق تکیه دارند، مهم است.
میانگین، میانه و مد
اصطلاحات «میانگین»، «میانه» و «مد» تحت چتر تمایل مرکزی قرار می‌گیرند. آن‌ها عنصری را توصیف می‌کنند که در یک گروه نمونه داده معمولی است. می‌توانید توصیف‌گر میانگین را با افزودن اعداد در گروه و تقسیم نتیجه بر تعداد مشاهدات مجموعه داده پیدا کنید. عدد میانی در مجموعه، میانه است. نیمی از تمام اعداد گنجانده‌شده بالاتر از میانه و نیمی پایین‌تر هستند. ارزش خانه میانی در محله ۳۵۰,۰۰۰ دلار خواهد بود اگر پنج خانه در آنجا واقع شده و به ارزش ۵۰۰,۰۰۰، ۴۰۰,۰۰۰، ۳۵۰,۰۰۰، ۳۲۵,۰۰۰ و ۳۰۰,۰۰۰ دلار ارزش‌گذاری شده باشند. دو ارزش بالاتر و دو تا پایین‌تر هستند. مد عددی را شناسایی می‌کند که بین بالاترین و پایین‌ترین مقادیر قرار می‌گیرد. این بیشترین تکرار را در مجموعه داده دارد.
درک داده‌های آماری
ریشه آمار توسط متغیرها هدایت می‌شود. متغیر، مجموعه داده‌ای است که می‌تواند شمارش شود و ویژگی یا صفتی از یک مورد را مشخص می‌کند. یک ماشین می‌تواند متغیرهایی مانند برند، مدل، سال، مسافت طی‌شده، رنگ یا وضعیت داشته باشد. آمار به ما اجازه می‌دهد تا روندها و نتایج را با ترکیب متغیرها در مجموعه‌ای از داده‌ها مانند رنگ‌های تمام ماشین‌ها در پارکینگ بهتر درک کنیم. دو نوع متغیر وجود دارد.
متغیرهای کیفی
متغیرهای کیفی ویژگی‌های خاصی هستند که اغلب غیرعددی هستند. مثال‌های متغیرهای کیفی در آمار شامل جنسیت، رنگ چشم یا شهر تولد است. داده‌های کیفی اغلب برای تعیین درصد وقوع یک نتیجه برای هر متغیر کیفی داده‌شده استفاده می‌شود. تحلیل کیفی اغلب به اعداد تکیه ندارد. تلاش برای تعیین درصد زنان مالک کسب‌وکار، داده‌های کیفی را تحلیل می‌کند.
متغیرهای کمی
نوع دوم متغیر در آمار، متغیرهای کمی است. این‌ها به صورت عددی مطالعه می‌شوند و تنها زمانی وزن دارند که درباره توصیف‌گر غیرعددی باشند. این اطلاعات ریشه در اعداد دارد. مسافت طی‌شده توسط یک ماشین متغیر کمی است اما عدد ۶۰,۰۰۰ بدون درک اینکه مجموع مسافت طی‌شده است، ارزشی ندارد. متغیرهای کمی می‌توانند به دو دسته تقسیم شوند. متغیرهای گسسته در آمار محدودیت‌هایی دارند و استنباط می‌کنند که شکاف‌هایی بین مقادیر بالقوه متغیر گسسته وجود دارد. تعداد امتیازهای کسب‌شده در یک بازی فوتبال متغیر گسسته است زیرا نمی‌تواند اعشار داشته باشد و یک تیم نمی‌تواند فقط یک امتیاز کسب کند. آمار همچنین از متغیرهای کمی پیوسته استفاده می‌کند. این مقادیر در امتداد مقیاس حرکت می‌کنند. مقادیر گسسته محدودیت‌هایی دارند اما متغیرهای پیوسته اغلب به اعشار اندازه‌گیری می‌شوند. هر مقداری در محدوده‌های ممکن می‌تواند هنگام اندازه‌گیری قد بازیکنان فوتبال به دست آید و قد می‌تواند تا ۱/۱۶ اینچ یا بیشتر اندازه‌گیری شود.
سطوح اندازه‌گیری آماری
پس از تحلیل متغیرها و نتایج، چندین سطح اندازه‌گیری حاصل وجود دارد. آمار می‌تواند نتایج را به چهار طریق کمی کند.
اندازه‌گیری سطح اسمی
در این اندازه‌گیری هیچ ارزش عددی یا کمی وجود ندارد و کیفیت‌ها رتبه‌بندی نمی‌شوند. اندازه‌گیری‌های سطح اسمی در عوض فقط برچسب‌ها یا دسته‌بندی‌هایی هستند که به متغیرهای دیگر اختصاص داده می‌شوند. آسان‌ترین فکر کردن به اندازه‌گیری‌های سطح اسمی به عنوان واقعیت‌های غیرعددی درباره یک متغیر است. مثال: نام رئیس‌جمهور ایالات متحده منتخب در سال ۲۰۲۰ جوزف رابینت بایدن جونیور بود.
اندازه‌گیری سطح ترتیبی
نتایج می‌توانند با استفاده از این اندازه‌گیری در یک ترتیب مرتب شوند اما تمام مقادیر داده ارزش یا وزن یکسانی دارند. آن‌ها عددی هستند اما اندازه‌گیری‌های سطح ترتیبی نمی‌توانند در آمار از یکدیگر کسر شوند زیرا فقط موقعیت نقطه داده مهم است. سطوح ترتیبی اغلب در آمار ناپارامتریک گنجانده می‌شوند و با کل گروه متغیر مقایسه می‌شوند. مثال: آمریکایی فرد کرلی دومین مرد سریع‌ترین در المپیک توکیو ۲۰۲۰ بر اساس زمان‌های دو ۱۰۰ متر بود.
اندازه‌گیری سطح فاصله‌ای
نتایج می‌توانند در این اندازه‌گیری در ترتیب مرتب شوند اما تفاوت‌های بین مقادیر داده اکنون معنا دارند. دو نقطه داده اغلب برای مقایسه گذر زمان یا شرایط در حال تغییر در یک مجموعه داده استفاده می‌شوند. اغلب "نقطه شروع" برای دامنه مقادیر داده وجود ندارد. تاریخ‌های تقویمی یا دماها ممکن است صفر ذاتی معنادار نداشته باشند. مثال: تورم در مه ۲۰۲۲ به ۸.۶٪ رسید. آخرین باری که تورم اینقدر بالا بود در دسامبر ۱۹۸۱ بود.
اندازه‌گیری سطح نسبتی
نتایج می‌توانند با این اندازه‌گیری در ترتیب مرتب شوند و تفاوت‌های بین مقادیر داده اکنون معنا دارند. با این حال، نقطه شروع یا "صفر ارزش" وجود دارد که می‌تواند برای ارائه ارزش بیشتر به یک ارزش آماری استفاده شود. نسبت بین مقادیر داده معنا دارد از جمله فاصله آن از صفر. مثال: پایین‌ترین دمای هواشناسی ثبت‌شده -۱۲۸.۶ درجه فارنهایت در قطب جنوب در سال ۱۹۸۳ بود.
تکنیک‌های نمونه‌گیری آمار
اغلب امکان دسترسی به داده از هر نقطه داده در یک جمعیت برای جمع‌آوری اطلاعات آماری وجود ندارد. آمار در عوض بر تکنیک‌های نمونه‌گیری مختلف تکیه دارد تا زیرمجموعه‌ای نماینده از جمعیت ایجاد کند که آسان‌تر تحلیل شود. چندین نوع اولیه نمونه‌گیری در آمار وجود دارد.
نمونه‌گیری تصادفی ساده
نمونه‌گیری تصادفی ساده فراخوان می‌کند که هر عضوی در جمعیت شانس برابر برای انتخاب برای تحلیل داشته باشد. کل جمعیت به عنوان پایه نمونه‌گیری استفاده می‌شود و هر ژنراتور تصادفی بر اساس شانس می‌تواند اقلام نمونه را انتخاب کند. شاید ۱۰۰ فرد در صف ایستاده باشند و ۱۰ تا به طور تصادفی انتخاب شوند.
نمونه‌گیری سیستماتیک
نمونه‌گیری سیستماتیک فراخوان به نمونه تصادفی می‌کند اما تکنیک آن کمی تغییر یافته تا آسان‌تر انجام شود. یک عدد تصادفی واحد تولید می‌شود تا نقطه شروع را تعیین کند و سپس افراد در فواصل منظم مشخص انتخاب می‌شوند تا اندازه نمونه کامل شود. هر نهمین فرد بعدی انتخاب می‌شود تا ۱۰ قلم نمونه انتخاب شود اگر ۱۰۰ فرد در صف شماره‌گذاری شده باشند و نقطه شروع تصادفی هفتمین فرد باشد. به این شکل خواهد بود: ۷ام، ۱۶ام، ۲۵ام.
نمونه‌گیری طبقه‌ای
نمونه‌گیری طبقه‌ای فراخوان به کنترل بیشتر بر نمونه شما می‌کند. جمعیت به زیرگروه‌ها بر اساس ویژگی‌های مشابه تقسیم می‌شود. سپس محاسبه می‌کنید که چند نفر از هر زیرگروه کل جمعیت را نمایندگی کنند. شاید ۱۰۰ فرد بر اساس جنسیت و نژاد گروه‌بندی شوند. سپس نمونه‌ای از هر زیرگروه به نسبت نمایندگی آن زیرگروه از جمعیت گرفته می‌شود.
نمونه‌گیری خوشه‌ای
نمونه‌گیری خوشه‌ای فراخوان به زیرگروه‌ها می‌کند اما هر زیرگروه باید نماینده جمعیت باشد. کل زیرگروه به طور تصادفی انتخاب می‌شود به جای انتخاب تصادفی افراد در یک زیرگروه.
واقعیت مهم:
مطمئن نیستید که کدام بازیکن بیسبال لیگ برتر باید سال گذشته بازیکن ارزشمند را برده باشد؟ آمار اغلب برای تعیین ارزش استفاده می‌شود و اغلب هنگام اعلام جایزه برای بهترین بازیکن ذکر می‌شود. آمار می‌تواند شامل میانگین ضربه، تعداد هوم‌ران‌های زده‌شده و پایگاه‌های دزدیده‌شده باشد.
کاربردهای آمار
آمار در امور مالی، سرمایه‌گذاری، کسب‌وکار و دامنه وسیعی از بخش‌ها برجسته است. بسیاری از اطلاعاتی که می‌بینید و داده‌هایی که به شما داده می‌شود از آمار مشتق شده که در تمام جنبه‌های یک کسب‌وکار استفاده می‌شود.
- آمار در سرمایه‌گذاری شامل حجم معاملاتی متوسط، پایین‌ترین ۵۲ هفته، بالاترین ۵۲ هفته، بتا و همبستگی بین کلاس‌های دارایی یا اوراق بهادار است.
- آمار در اقتصاد شامل تولید ناخالص داخلی (GDP)، بیکاری، قیمت‌گذاری مصرف‌کننده، تورم و سایر معیارهای رشد اقتصادی است.
- آمار در بازاریابی شامل نرخ‌های تبدیل، نرخ‌های کلیک‌ثرو، مقادیر جستجو و معیارهای رسانه‌های اجتماعی است.
- آمار در حسابداری شامل معیارهای نقدینگی، توانگری و سودآوری در طول زمان است.
- آمار در فناوری اطلاعات شامل پهنای باند، قابلیت‌های شبکه و لجستیک سخت‌افزار است.
- آمار در منابع انسانی شامل گردش کارکنان، رضایت کارکنان و جبران متوسط نسبت به بازار است.
چرا آمار مهم است؟
آمار برای انجام تحقیق، ارزیابی نتایج، توسعه تفکر انتقادی و اتخاذ تصمیمات آگاهانه درباره مجموعه‌ای از داده‌ها استفاده می‌شود. آمار می‌تواند برای پرسش درباره تقریباً هر زمینه مطالعه برای بررسی اینکه چرا چیزها اتفاق می‌افتد، چه زمانی رخ می‌دهد و آیا تکرار قابل پیش‌بینی است، استفاده شود.
تفاوت بین آمار توصیفی و استنباطی چیست؟
آمار توصیفی برای توصیف یا خلاصه ویژگی‌های یک نمونه یا مجموعه داده مانند میانگین، انحراف استاندارد یا فرکانس یک متغیر استفاده می‌شود. آمار استنباطی از هر تعداد تکنیکی برای ارتباط متغیرها در یک مجموعه داده با یکدیگر استفاده می‌کند. مثالی استفاده از تحلیل همبستگی یا رگرسیون است. این‌ها سپس می‌توانند برای تخمین پیش‌بینی‌ها یا استنباط علیت استفاده شوند.
چه کسانی از آمار استفاده می‌کنند؟
آمار هر زمان که داده‌ها جمع‌آوری و تحلیل می‌شوند استفاده می‌شود و به طور گسترده در دامنه‌ای از کاربردها و حرفه‌ها استفاده می‌شود. این‌ها شامل آژانس‌های دولتی، تحقیق دانشگاهی و تحلیل سرمایه‌گذاری است.
آمار چگونه در اقتصاد و امور مالی استفاده می‌شود؟
اقتصاددانان انواع داده‌ها را از هزینه مصرف‌کننده و شروع مسکن تا تورم و رشد GDP جمع‌آوری و بررسی می‌کنند. تحلیلگران و سرمایه‌گذاران داده‌هایی درباره شرکت‌ها، صنایع، احساسات و داده‌های بازار در قیمت و حجم جمع‌آوری می‌کنند. استفاده از آمار استنباطی در این زمینه‌ها به عنوان اقتصادسنجی شناخته می‌شود. چند مدل مالی مهم از جمله مدل قیمت‌گذاری دارایی سرمایه (CAPM)، نظریه پرتفوی مدرن (MPT) و مدل قیمت‌گذاری اختیار معامله بلک-شولز بر استنباط آماری تکیه دارند.
نتیجه‌گیری
آمار، عمل تحلیل داده‌ها و استنتاج از نتایج نمونه است. آمار در دامنه‌ای از زمینه‌ها از آژانس‌های دولتی تا امور مالی برای جمع‌آوری نتیجه‌گیری‌ها درباره مجموعه داده داده‌شده استفاده می‌شود. مطالعه آمار می‌تواند به شغلی به عنوان متخصص آمار منجر شود اما همچنین می‌تواند معیاری مفید در زندگی روزمره باشد. آمار می‌تواند برای کسب بینش در مورد نتایج احتمالی اشیاء یا رویدادها استفاده شود چه در حال تحلیل شانس برد تیم مورد علاقه‌تان در سوپر بول قبل از شرط‌بندی، ارزیابی قابلیت یک سرمایه‌گذاری یا تعیین اینکه آیا برای یک محصول یا خدمات به طور نسبی بیش از حد شارژ می‌شوید.
نظرات کاربران