احتمال شرطی چیست؟

احتمال شرطی در آمار، احتمال وقوع یک رویداد خاص را بر اساس وقوع (یا عدم وقوع) رویدادهای مرتبط دیگر اندازه‌گیری می‌کند. این مفهوم کاربردهای گسترده‌ای در علم و امور مالی دارد.

در مطالعه احتمال شرطی، محققان دو یا چند رویداد با احتمالات مرتبط را بررسی می‌کنند و می‌پرسند: «اگر بدانیم رویداد A رخ داده است، احتمال وقوع رویداد B چیست؟» احتمال با ضرب احتمال رویداد پیشین در احتمال به‌روزشده رویداد بعدی یا شرطی محاسبه می‌شود. همچنین می‌توان احتمال وقوع یک رویداد قبلی را بر اساس وقوع شناخته‌شده رویداد بعدی محاسبه کرد.

نکات کلیدی

• احتمال شرطی به شانس وقوع یک نتیجه (A) با توجه به وقوع رویداد دیگری (B) اشاره دارد.
• در احتمال، این به‌صورت «A به شرط B» یا به‌صورت فرمول P(A|B) نوشته می‌شود، جایی که احتمال وقوع A به وقوع B وابسته است.
• احتمال شرطی در مقابل احتمال غیرشرطی قرار می‌گیرد.
• احتمالات به‌عنوان شرطی، حاشیه‌ای (احتمال پایه بدون وابستگی به رویداد دیگر) یا مشترک (احتمال وقوع همزمان دو رویداد) طبقه‌بندی می‌شوند.
• قضیه بیز یک فرمول ریاضی است که می‌تواند احتمالات شرطی را برای رویدادهای نامطمئن محاسبه کند.

درک احتمال شرطی
احتمال شرطی احتمال وقوع یک نتیجه خاص (A) را بر اساس وقوع یک رویداد قبلی (B) اندازه‌گیری می‌کند.

دو رویداد زمانی مستقل نامیده می‌شوند که وقوع یکی بر احتمال وقوع دیگری تأثیری نگذارد. اما اگر وقوع (یا عدم وقوع) یک رویداد بر احتمال وقوع رویداد دیگر تأثیر بگذارد، این دو رویداد وابسته نامیده می‌شوند.

مثالی از رویدادهای وابسته، افزایش قیمت سهام یک شرکت پس از گزارش سود بالاتر از انتظار آن شرکت است.

اگر رویدادها مستقل باشند، احتمال وقوع رویداد B به آنچه برای رویداد A رخ می‌دهد وابسته نیست. برای مثال، افزایش سهام اپل ارتباط کمی با کاهش قیمت گندم دارد.

احتمال شرطی اغلب به‌صورت «احتمال A به شرط B» نوشته می‌شود و به‌صورت P(A|B) نمایش داده می‌شود.

انواع دیگر احتمالات
احتمال شرطی را می‌توان با احتمال غیرشرطی مقایسه کرد. احتمال غیرشرطی که به آن احتمال حاشیه‌ای نیز گفته می‌شود، شانس وقوع یک رویداد واحد را بدون وابستگی به هیچ رویداد دیگری اندازه‌گیری می‌کند. در مقابل، احتمال شرطی احتمال وقوع یک رویداد را با توجه به وقوع رویداد دیگر تعیین می‌کند و آن‌ها را به هم مرتبط می‌سازد.

احتمال مستقل این ارتباط را ندارد و به‌جای آن احتمال یک رویداد را به‌صورت جداگانه بررسی می‌کند، زیرا فرض بر این است که مستقل است.

احتمال مشترک، شانس وقوع همزمان دو رویداد است. این مفاهیم می‌توانند برای استخراج قضیه بیز ترکیب شوند، که راهی ریاضی برای معکوس کردن احتمالات شرطی فراهم می‌کند. اگر شانس وقوع رویداد B به شرط A را بدانید، می‌توانید احتمال شرطی A به شرط B را محاسبه کنید.

به‌طور کلی، در حالی که احتمالات حاشیه‌ای و مشترک رویدادهای فردی و جفتی را اندازه‌گیری می‌کنند، احتمال شرطی می‌تواند تقدم و وابستگی بین رویدادها را اندازه‌گیری کند.

واقعیت سریع
احتمال شرطی در زمینه‌های مختلفی مانند بیمه، اقتصاد، سیاست و حوزه‌های مختلف ریاضیات استفاده می‌شود.

فرمول احتمال شرطی
P(B|A) = P(A و B) / P(A)
یا:
P(B|A) = P(A ∩ B) / P(A)

که در آن:
P = احتمال
A = رویداد A
B = رویداد B

مهم
احتمال غیرشرطی، که به‌عنوان احتمال حاشیه‌ای نیز شناخته می‌شود، شانس وقوع چیزی را بدون توجه به دانش درباره رویدادهای قبلی یا خارجی اندازه‌گیری می‌کند. از آنجا که این احتمال اطلاعات جدید را نادیده می‌گیرد، ثابت باقی می‌ماند.

مثال‌های احتمال شرطی

مثال ۱: تیله‌ها در یک کیسه
مثالی از احتمال شرطی با استفاده از تیله‌ها در زیر نشان داده شده است. مراحل به شرح زیر است:

مرحله ۱: درک سناریو
ابتدا، کیسه‌ای با شش تیله قرمز، سه تیله آبی و یک تیله سبز به شما داده می‌شود. بنابراین، در مجموع ۱۰ تیله در کیسه وجود دارد.

مرحله ۲: شناسایی رویدادها
دو رویداد تعریف می‌شود:

• رویداد A: کشیدن یک تیله قرمز از کیسه
• رویداد B: کشیدن یک تیله که سبز نیست

مرحله ۳: محاسبه احتمال رویداد B: P(B)
رویداد B کشیدن یک تیله است که سبز نیست. در مجموع ۱۰ تیله وجود دارد که ۹ تای آن‌ها سبز نیستند: شش تیله قرمز و سه تیله آبی.
P(B) = (تعداد تیله‌های غیرسبز) / (تعداد کل تیله‌ها) = ۹/۱۰

مرحله ۴: شناسایی تقاطع رویدادهای A و B: P(A ∩ B)
تقاطع رویدادهای A و B شامل کشیدن یک تیله قرمز است که سبز نیست. از آنجا که همه تیله‌های قرمز سبز نیستند، تقاطع ساده است: رویداد کشیدن یک تیله قرمز.

مرحله ۵: محاسبه احتمال تقاطع رویدادهای A و B: P(A ∩ B)
P(A ∩ B) = (تعداد تیله‌های قرمز) / (تعداد کل تیله‌ها) = ۶/۱۰ = ۳/۵

مرحله ۶: محاسبه احتمال شرطی: P(A|B)
با استفاده از فرمول احتمال شرطی، P(A|B)، یعنی احتمال کشیدن یک تیله قرمز با توجه به اینکه تیله کشیده‌شده سبز نیست، احتمال محاسبه می‌شود:
P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B) = (۳/۵) / (۹/۱۰) = ۲/۳

نتیجه: احتمال شرطی کشیدن یک تیله قرمز با توجه به اینکه تیله کشیده‌شده سبز نیست، ۲/۳ است.

مثال ۲: پرتاب یک تاس منصفانه
مثال دیگری از احتمال شرطی با استفاده از یک تاس منصفانه در نظر گرفته می‌شود. مراحل به شرح زیر است:

مرحله ۱: درک سناریو
شما یک تاس شش‌وجهی منصفانه دارید. می‌خواهید احتمال پرتاب یک عدد زوج را با توجه به اینکه عدد پرتاب‌شده بزرگ‌تر از چهار است، تعیین کنید.

مرحله ۲: شناسایی رویدادها
فضای نمونه (نتایج ممکن) برای یک تاس شش‌وجهی اعداد یک تا شش است. از این فهرست، می‌توانید دو رویداد را تعریف کنید:

• رویداد A: پرتاب یک عدد زوج. رویداد A به معنای پرتاب {۲, ۴, ۶} است.
• رویداد B: پرتاب یک عدد بزرگ‌تر از چهار. رویداد B به معنای پرتاب {۵, ۶} است.

مرحله ۳: محاسبه احتمال هر رویداد
احتمال هر رویداد با تقسیم تعداد نتایج مطلوب (نتایجی که به دنبال آن هستید) بر تعداد کل نتایج در فضای نمونه محاسبه می‌شود.

• P(A) احتمال پرتاب یک عدد زوج است. سه عدد زوج {۲, ۴, ۶} از شش نتیجه ممکن وجود دارد. بنابراین، P(A) = ۳/۶ = ۱/۲.
• P(B) احتمال پرتاب یک عدد بزرگ‌تر از چهار است. دو عدد بزرگ‌تر از چهار {۵, ۶} از شش نتیجه ممکن وجود دارد. بنابراین، P(B) = ۲/۶ = ۱/۳.

مرحله ۴: شناسایی تقاطع رویدادهای A و B
تقاطع رویدادهای A و B شامل نتایجی است که به‌طور همزمان هر دو شرط را برآورده می‌کنند. در این مورد، یعنی پرتاب یک عدد که زوج و بزرگ‌تر از چهار باشد. تنها نتیجه‌ای که هر دو را انجام می‌دهد، پرتاب عدد شش است.

مرحله ۵: محاسبه احتمال تقاطع رویدادهای A و B
P(A ∩ B) احتمال پرتاب عدد شش است، زیرا شش تنها نتیجه‌ای است که هم زوج است و هم بزرگ‌تر از چهار. یک نتیجه از شش امکان وجود دارد. بنابراین، P(A ∩ B) = ۱/۶.

مرحله ۶: محاسبه احتمال شرطی: P(B|A)
فرمول احتمال شرطی به شرح زیر است:
P(B|A) = P(A ∩ B) / P(A)

با جایگذاری مقادیر در فرمول، نتیجه به این صورت است:
P(B|A) = (۱/۶) / (۱/۲) = ۱/۳

نتیجه: این بدان معناست که با توجه به اینکه تاس پرتاب‌شده زوج است، احتمال اینکه این عدد بزرگ‌تر از چهار باشد، ۱/۳ است.

مثال ۳: احتمالات شرطی چندگانه
سناریوی دیگری شامل دانش‌آموزی است که برای پذیرش در یک کالج اقدام می‌کند و امیدوار است بورسیه و کمک‌هزینه برای کتاب، غذا و مسکن دریافت کند. مراحل تعیین احتمال شرطی دریافت کمک‌هزینه و بورسیه به شرح زیر است:

مرحله ۱: درک سناریو
ابتدا، دانش‌آموز می‌خواهد احتمال پذیرش در دانشگاه را بداند. سپس، در صورت پذیرش، دانش‌آموز مایل است بورسیه تحصیلی دریافت کند. علاوه بر این، در صورت امکان، دانش‌آموز همچنین مایل است در صورت دریافت بورسیه، کمک‌هزینه‌ای برای کتاب، غذا و مسکن دریافت کند.

مرحله ۲: شناسایی رویدادها
سه رویداد وجود دارد:

• رویداد A: پذیرش در دانشگاه.
• رویداد B: دریافت بورسیه پس از پذیرش.
• رویداد C: دریافت کمک‌هزینه برای کتاب، غذا و مسکن پس از دریافت بورسیه.

مرحله ۳: محاسبه احتمال پذیرش (رویداد A)
دانشگاه ۱۰۰ نفر از هر ۱۰۰۰ متقاضی با درخواست‌های مشابه دانش‌آموز را می‌پذیرد. بنابراین، احتمال پذیرش دانش‌آموز P(A) = ۱۰۰/۱۰۰۰ = ۰.۱ یا ۱۰٪ است.

مرحله ۴: تعیین احتمال دریافت بورسیه پس از پذیرش: P(B|A)
معلوم است که از میان دانش‌آموزان پذیرفته‌شده، ۱۰ نفر از هر ۵۰۰ نفر بورسیه دریافت می‌کنند. بنابراین، احتمال دریافت بورسیه با توجه به پذیرش به این صورت است:
P(B|A) = ۱۰/۵۰۰ = ۰.۰۲ یا ۲٪.

مرحله ۵: محاسبه احتمال پذیرش و دریافت بورسیه
برای محاسبه احتمال پذیرش و همچنین دریافت بورسیه، احتمال پذیرش در احتمال شرطی دریافت بورسیه با توجه به پذیرش ضرب می‌شود:
P(A ∩ B) = P(A) × P(B|A) = ۰.۱ × ۰.۰۲ = ۰.۰۰۲ یا ۰.۲٪.

مرحله ۶: تعیین احتمال دریافت کمک‌هزینه پس از دریافت بورسیه: P(C|B)
همچنین معلوم است که در میان دریافت‌کنندگان بورسیه، ۵۰٪ کمک‌هزینه برای کتاب، غذا و مسکن دریافت می‌کنند. بنابراین، P(C|B) = ۰.۵ = ۵۰٪.

مرحله ۷: محاسبه احتمال پذیرش، دریافت بورسیه و دریافت کمک‌هزینه
برای محاسبه احتمال پذیرش دانش‌آموز، دریافت بورسیه و سپس دریافت کمک‌هزینه، احتمالات رویدادها ضرب می‌شوند:
P(A ∩ B ∩ C) = P(A) × P(B|A) × P(C|B) = ۰.۱ × ۰.۰۲ × ۰.۵ = ۰.۰۰۱ یا ۰.۱٪.

این تجزیه گام‌به‌گام نشان می‌دهد که چگونه احتمالات برای هر سناریو با استفاده از فرمول‌های احتمال پایه و احتمال شرطی محاسبه می‌شوند.

احتمال شرطی در مقابل احتمال مشترک و احتمال حاشیه‌ای
اکنون تفاوت محاسبه احتمال شرطی با انواع دیگر احتمال را بررسی می‌کنیم.

احتمال شرطی
مثال این بار یک دسته کارت معمولی است. دو رویداد تعریف می‌شود:

• رویداد A: کشیدن یک کارت چهار.
• رویداد B: کشیدن یک کارت قرمز.

یک دسته استاندارد شامل ۵۲ کارت است که به چهار خال (دل، خشت، گشنیز و پیک) تقسیم می‌شود. دل و خشت قرمز هستند و گشنیز و پیک سیاه هستند. هر خال شامل ۱۳ کارت است: آس، سپس اعداد دو تا ده، و سپس کارت‌های تصویری سرباز، بی‌بی و شاه.

این دسته شامل ۲۶ کارت قرمز، ۱۳ دل و ۱۳ خشت است. بنابراین، احتمال کشیدن یک کارت قرمز P(B) = ۲۶/۵۲ = ۱/۲ است.

در میان کارت‌های قرمز، چهار دل و چهار خشت وجود دارد. بنابراین، اگر یک کارت قرمز کشیده شود، باید زیرمجموعه‌ای از دسته که فقط شامل این ۲۶ کارت قرمز است در نظر گرفته شود.

با توجه به اینکه یک کارت قرمز کشیده شده است، احتمال اینکه این کارت چهار باشد به این صورت محاسبه می‌شود:
P(A|B) = (تعداد کارت‌های چهار قرمز) / (تعداد کارت‌های قرمز) = ۲/۲۶ = ۱/۱۳.

واقعیت مهم:
قضیه بیز به‌طور گسترده در یادگیری ماشین استفاده می‌شود.

احتمال حاشیه‌ای
احتمال حاشیه‌ای، P(A)، احتمال وقوع یک رویداد A به‌تنهایی است. این احتمال وقوع هیچ رویداد دیگری را در نظر نمی‌گیرد.

از آنجا که رویداد A کشیدن یک کارت چهار است، P(A) با تقسیم تعداد کارت‌های چهار بر تعداد کل کارت‌های دسته محاسبه می‌شود:
P(A) = ۴/۵۲ = ۱/۱۳.

احتمال مشترک
احتمال مشترک شانس وقوع همزمان دو یا چند رویداد است. این به‌صورت P(A ∩ B)، احتمال وقوع رویدادهای A و B، نشان داده می‌شود.

با فرض اینکه رویدادهای قبلی یکسان هستند، یعنی رویداد A کشیدن کارتی است که چهار است و رویداد B کشیدن یک کارت قرمز است، می‌توانیم احتمال مشترک کشیدن کارتی که هم چهار باشد و هم قرمز را پیدا کنیم.

دو کارت وجود دارد که هر دو معیار را برآورده می‌کنند، چهار دل و چهار خشت. بنابراین، احتمال مشترک کشیدن کارتی که هم چهار باشد و هم قرمز به این صورت محاسبه می‌شود:
P(A ∩ B) = ۲/۵۲ = ۱/۲۶.

قضیه بیز و احتمال شرطی
قضیه بیز برای محاسبه احتمالات شرطی هنگام برخورد با رویدادهای نامطمئن استفاده می‌شود. در سرمایه‌گذاری، این امکان را به شما می‌دهد که برآوردهای احتمال خود از یک نتیجه بازار را با دریافت داده‌های جدید مرتبط به‌روزرسانی کنید.

برای مثال، فرض کنید می‌خواهید بدانید احتمال اینکه شاخص S&P 500 در سال جاری بازده درصدی مثبتی داشته باشد، با توجه به ارقام اولیه تولید ناخالص داخلی (GDP). در این صورت، با استفاده از قضیه بیز شروع می‌کنید و نرخ‌های بازده تاریخی شاخص را برای برآورد اولیه گسترش اقتصادی در نظر می‌گیرید.

سپس این احتمال اولیه را با استفاده از آخرین برآوردهای GDP بازنگری می‌کنید. این کار ارزیابی‌های احتمالی دقیق‌تری را با در نظر گرفتن تمام شواهد در طول سال فراهم می‌کند.

اگرچه از نظر ریاضی کمی پیچیده است، قضیه بیز کاملاً منطقی است. اگر سرمایه‌گذار اطلاعات اقتصادی جدیدی مرتبط با بازده‌های بالقوه بازار کشف کند، منطقی است که این داده‌ها را برای محاسبه دقیق‌تر ادغام کند.

وزیر انگلیسی قرن هجدهم، توماس بیز، این تکنیک آماری را ابداع کرد که همچنان در مدل‌سازی مالی و سایر زمینه‌هایی که نیاز به پیش‌بینی در شرایط نامطمئن دارند، نقش مرکزی دارد.

توضیح برای کودکان پنج‌ساله
احتمال شرطی بررسی می‌کند که شانس وقوع چیزی، بر اساس وقوع رویدادهای مرتبط دیگر چقدر است. اگر بخواهید بدانید احتمال بارش باران در بعدازظهر چقدر است، دانستن اینکه صبح ابری بوده کمک می‌کند. برعکس، اگر بدانید در بعدازظهر باران نیامده، می‌توانید احتمال آفتابی بودن صبح را محاسبه کنید.

سرمایه‌گذاران از احتمال شرطی برای پیش‌بینی‌های مالی استفاده می‌کنند، بر اساس احتمال شناخته‌شده رویدادهای مرتبط. برای مثال، برخی سهام در دوران رکود اقتصادی عملکرد خوبی دارند و برخی دیگر معمولاً عملکرد ضعیفی دارند. اگر احتمال وقوع رکود را بدانید، می‌توانید تخمین بزنید که آیا یک سهام خاص عملکرد خوبی خواهد داشت یا خیر.

ماشین‌حساب احتمال شرطی چیست؟
ماشین‌حساب احتمال شرطی یک ابزار آنلاین است که احتمال شرطی را محاسبه می‌کند. این ابزار احتمال وقوع رویدادهای اول و دوم را ارائه می‌دهد. ماشین‌حساب احتمال شرطی کاربر را از انجام محاسبات ریاضی دستی معاف می‌کند.

تفاوت بین احتمال و احتمال شرطی چیست؟
احتمال به شانس وقوع یک رویداد نگاه می‌کند. احتمال شرطی به وقوع دو رویداد در ارتباط با یکدیگر نگاه می‌کند. به‌طور خاص، احتمال وقوع رویداد دوم را بر اساس احتمال وقوع رویداد اول بررسی می‌کند.

احتمال پیشین چیست؟
احتمال پیشین احتمال وقوع یک رویداد قبل از جمع‌آوری هرگونه داده است. این احتمال بر اساس باور پیشین تعیین می‌شود. احتمال پیشین بخشی از استنباط آماری بیزی است، زیرا می‌توانید این باورها را بازنگری کنید و به‌صورت ریاضی به احتمال پسین برسید.

احتمال مرکب چیست؟
احتمال مرکب به تعیین شانس وقوع دو رویداد مستقل می‌پردازد. احتمال مرکب احتمال رویداد اول را در احتمال رویداد دوم ضرب می‌کند. رایج‌ترین مثال پرتاب دوبار سکه و بررسی این است که آیا نتیجه دوم مشابه نتیجه اول خواهد بود یا خیر.

نتیجه‌گیری
احتمال شرطی شانس وقوع یک رویداد را بر اساس شانس وقوع یک رویداد قبلی بررسی می‌کند. رویداد دوم به رویداد اول وابسته است.

برای مثال، ممکن است بخواهیم بدانیم احتمال افزایش قیمت یک سهام خاص در صورتی که شاخص بخش آن در حال صعود است چقدر است. احتمال شرطی بر اساس شانس رویداد اول (افزایش قیمت سهام) و همچنین رابطه بین دو رویداد است.