خطای استاندارد (SE) چیست؟

خطای استاندارد (SE)، آماری است که نشان می‌دهد داده‌های نمونه چقدر دقیقاً جمعیت کل را نمایندگی می‌کنند. آن دقت توزیع نمونه در نمایندگی جمعیت را اندازه‌گیری می‌کند. در آمار، میانگین نمونه از میانگین واقعی جمعیت انحراف دارد؛ این انحراف، خطای استاندارد میانگین است.

خطای استاندارد بخشی از آمار استنباطی یا، نتیجه‌گیری‌های حاصل از مطالعه در نظر گرفته می‌شود. آن نسبت معکوس با اندازه نمونه دارد؛ هرچه اندازه نمونه بزرگ‌تر باشد، خطای استاندارد کوچک‌تر است زیرا آماره به ارزش واقعی نزدیک‌تر می‌شود.

نکات کلیدی

• خطای استاندارد، انحراف استاندارد تقریبی جمعیت نمونه آماری است.
• خطای استاندارد، پراکندگی بین میانگین محاسبه‌شده جمعیت و آن که شناخته‌شده یا پذیرفته‌شده به عنوان دقیق در نظر گرفته می‌شود را توصیف می‌کند.
• هرچه نقاط داده بیشتری در محاسبات میانگین درگیر باشند، خطای استاندارد تمایل به کوچک‌تر شدن دارد.

درک خطای استاندارد

اصطلاح «خطای استاندارد»، یا به اختصار SE، برای اشاره به انحراف استاندارد آمارهای نمونه مختلف، مانند میانگین یا میانه، استفاده می‌شود.

وقتی جمعیتی نمونه‌برداری می‌شود، میانگین یا متوسط معمولاً محاسبه می‌شود. خطای استاندارد، پراکندگی بین میانگین محاسبه‌شده جمعیت و آن که شناخته‌شده یا پذیرفته‌شده به عنوان دقیق در نظر گرفته می‌شود را توصیف می‌کند. این به جبران هرگونه نادقت اتفاقی مرتبط با جمع‌آوری نمونه کمک می‌کند.

«خطای استاندارد میانگین» به انحراف استاندارد توزیع میانگین‌های نمونه گرفته‌شده از جمعیت اشاره دارد. رابطه بین خطای استاندارد و انحراف استاندارد به این صورت است که، برای اندازه نمونه معین، خطای استاندارد برابر انحراف استاندارد تقسیم بر ریشه مربع اندازه نمونه است.

انحراف خطای استاندارد به عنوان یک عدد بیان می‌شود. گاهی، انحراف لازم یا مطلوب است که به عنوان درصد نشان داده شود. وقتی به عنوان درصد نشان داده می‌شود، به عنوان خطای استاندارد نسبی شناخته می‌شود.

مهم: خطای استاندارد و انحراف استاندارد، اندازه‌گیری‌های پراکندگی هستند، در حالی که اندازه‌گیری‌های تمایل مرکزی شامل میانگین، میانه و غیره می‌شوند.

هرچه خطای استاندارد کوچک‌تر باشد، نمونه نمایندگی بیشتری از جمعیت کل خواهد داشت. و هرچه نقاط داده بیشتری در محاسبات میانگین درگیر باشند، خطای استاندارد تمایل به کوچک‌تر شدن دارد. در مواردی که خطای استاندارد بزرگ است، داده‌ها ممکن است ناهنجاری‌های قابل توجهی داشته باشند.

در مواردی که چندین نمونه جمع‌آوری می‌شود، میانگین هر نمونه ممکن است کمی از دیگران متفاوت باشد و پراکندگی در میان متغیرها ایجاد کند. این پراکندگی اغلب به عنوان خطای استاندارد اندازه‌گیری می‌شود و تفاوت‌های بین میانگین‌ها در مجموعه‌های داده را در نظر می‌گیرد.

فرمول و محاسبه خطای استاندارد

در معاملات الگوریتمی استفاده‌شده، خطای استاندارد یک تخمین می‌تواند به عنوان انحراف استاندارد تقسیم بر ریشه مربع اندازه نمونه محاسبه شود:

$SE = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

که در آن:

• $\sigma =$ انحراف استاندارد جمعیت
• $\sqrt{n} =$ ریشه مربع اندازه نمونه

اگر انحراف استاندارد جمعیت شناخته‌شده نباشد، می‌توانید انحراف استاندارد نمونه، s، را در صورت کسر جایگزین کنید تا خطای استاندارد را تخمین بزنید.

خطای استاندارد در مقابل انحراف استاندارد

انحراف استاندارد، نمایانگر پراکندگی هر یک از نقاط داده است. آن برای کمک به تعیین اعتبار داده‌ها بر اساس تعداد نقاط داده نمایش‌داده‌شده در هر سطح انحراف استاندارد استفاده می‌شود.

خطاهای استاندارد بیشتر به عنوان راهی برای تعیین دقت نمونه یا دقت چندین نمونه با تحلیل انحراف در میان میانگین‌ها عمل می‌کنند.

خطای استاندارد، انحراف استاندارد را نسبت به اندازه نمونه استفاده‌شده در تحلیل نرمال می‌کند. انحراف استاندارد، مقدار واریانس یا پراکندگی داده‌ها حول میانگین را اندازه‌گیری می‌کند. خطای استاندارد را می‌توان به عنوان پراکندگی تخمین‌های میانگین نمونه حول میانگین واقعی جمعیت در نظر گرفت.

خطای استاندارد و فاصله‌های اطمینان

وقتی آماردانان یا محققان یک پارامتر جمعیت را تخمین می‌زنند، به ندرت ارزش دقیق را می‌دانند. در عوض، از داده‌های نمونه برای حدس آگاهانه استفاده می‌کنند. همان‌طور که در بالا بحث شد، این فاصله اطمینان است. این محدوده، حس عدم قطعیتی که تخمین را احاطه کرده است را می‌دهد.

درک نقش خطای استاندارد در فاصله‌های اطمینان می‌تواند به تفسیر نتایج مطالعه کمک کند. برای مثال، اگر دو مطالعه میانگین جمعیت یکسانی را تخمین بزنند اما فاصله‌های اطمینان بسیار متفاوتی داشته باشند، اغلب به دلیل تفاوت در خطای استاندارد است. فاصله باریک، اطمینان بیشتری به دقت تخمین میزنند، در حالی که فاصله وسیع‌تر، نیاز به داده‌های بیشتر یا روش‌های نمونه‌برداری بهتر را پیشنهاد می‌کند. در اصطلاحات عملی، فاصله‌های اطمینان قدرت‌گرفته‌شده توسط خطای استاندارد به محققان و تصمیم‌گیرندگان کمک می‌کند تا قابلیت اطمینان اعدادی که به آن‌ها تکیه می‌کنند را ارزیابی کنند.

خطای استاندارد و آزمون فرضیه

خطای استاندارد همچنین بر آزمون فرضیه تأثیر می‌گذارد، به ویژه هنگام مقایسه آمارهای نمونه با پارامترهای جمعیت. در آزمون‌هایی مانند آزمون z یا آزمون t، از خطای استاندارد برای اندازه‌گیری اینکه نتیجه نمونه چقدر از آنچه انتظار می‌رود اگر فرض صفر درست باشد، دور است استفاده می‌شود. آن کمک می‌کند تا تعیین شود آیا اثر مشاهده‌شده احتمالاً به دلیل شانس است یا از نظر آماری معنادار است. بدون خطای استاندارد، راهی برای قضاوت در مورد قابلیت اطمینان تخمین نمونه نخواهیم داشت.

در هر دو آزمون z و t، آماره آزمون با مقایسه آماره نمونه، ارزش فرض‌شده، و خطای استاندارد محاسبه می‌شود. این نسبت به ما می‌گوید آماره نمونه چند خطای استاندارد از ارزش فرض‌شده تحت فرض صفر دور است. آماره آزمون بزرگ نشان می‌دهد نتیجه نمونه دور از ارزش مورد انتظار است، که می‌تواند نشان‌دهنده رد فرض صفر باشد. اگر نتیجه نزدیک باشد در حدود دو خطای استاندارد، برای مثال احتمالاً معنادار نیست.

این آماره آزمون سپس برای یافتن p-value استفاده می‌شود، که احتمال مشاهده نتیجه‌ای به بالا بودن نتیجه در نمونه را، با فرض درست بودن فرض صفر، به ما می‌گوید. هرچه خطای استاندارد کوچک‌تر باشد، آماره آزمون بزرگ‌تر خواهد بود. به همین دلیل خطای استاندارد مستقیماً بر اینکه آیا نتیجه از نظر آماری معنادار است تأثیر می‌گذارد.

همچنین می‌توانید این را با تصور منحنی زنگوله‌ای مفهوم‌سازی کنید که مرکز آن فرض صفر را نمایندگی می‌کند. اگر خطای استاندارد بزرگ باشد، منحنی وسیع‌تر و مسطح‌تر است، به معنای اینکه نتایج مشاهده‌شده باید دورتر از مرکز باشند تا غیرعادی در نظر گرفته شوند. اگر خطای استاندارد کوچک باشد، منحنی تنگ‌تر است و حتی تفاوت‌های کوچک از مرکز به نظر می‌رسند.

معایب استفاده از خطای استاندارد

یکی از بزرگ‌ترین معایب استفاده از خطای استاندارد این است که خطای استاندارد فرض می‌کند نمونه تصادفی و نماینده است. اگر نمونه جهت دار یا بد جمع‌آوری‌شده باشد، خطای استاندارد محاسبه‌شده ممکن است عدم قطعیت واقعی را کم‌تخمین بزند یا نادرست نمایندگی کند. این می‌تواند به فاصله‌های اطمینان گمراه‌کننده یا آزمون‌های فرضیه نادقیق منجر شود.

محدودیت دیگر این است که خطای استاندارد با اندازه‌های نمونه کوچک کمتر قابل اعتماد می‌شود. در نمونه‌های کوچک، تخمین پراکندگی ممکن است واریانس واقعی جمعیت را منعکس نکند، که بر دقت خطای استاندارد تأثیر می‌گذارد. به همین دلیل آزمون‌های t، که برای اندازه‌های نمونه کوچک با استفاده از توزیع t تنظیم می‌شوند، اغلب ترجیح داده می‌شوند نسبت به آزمون‌های z هنگام کار با داده‌های محدود.

خطای استاندارد همچنین فرض می‌کند که داده‌های مورد تحلیل از توزیع خاصی پیروی می‌کنند، معمولاً توزیع نرمال. اگر داده‌های زیربنایی بسیار جهت دار باشند، شامل نقاط پرت باشند، یا فرضیات قضیه حد مرکزی را برآورده نکنند، خطای استاندارد ممکن است پراکندگی واقعی تخمین را به دقت نشان ندهد.

مثال خطای استاندارد

فرض کنید یک تحلیل‌گر نمونه تصادفی ۵۰ شرکت از S&P 500 را بررسی کرده تا ارتباط بین نسبت P/E سهام و عملکرد ۱۲ ماهه بعدی در بازار را درک کند.

فرض کنید تخمین حاصل -۰.۲۰ است، که نشان می‌دهد برای هر ۱.۰ امتیاز در نسبت P/E، سهام‌ها ۰.۲٪ عملکرد نسبی ضعیف‌تری دارند. در نمونه ۵۰ تایی، انحراف استاندارد ۱.۰ یافت شد.

بنابراین، خطای استاندارد به این صورت است:

$SE = \frac{1.0}{\sqrt{50}} = \frac{1}{7.07} = 0.141$

1.0​=7.071​=0.141

بنابراین، ما تخمین را به عنوان -۰.۲۰٪ ± ۰.۱۴ گزارش می‌کنیم، که فاصله اطمینان (-۰.۳۴ - -۰.۰۶) را به ما می‌دهد. بنابراین، ارزش میانگین واقعی ارتباط P/E بر بازده‌های S&P 500 با احتمال بالا در آن محدوده قرار می‌گیرد.

حال فرض کنید نمونه سهام‌ها را به ۱۰۰ افزایش دهیم و تخمین کمی از -۰.۲۰ به -۰.۲۵ تغییر کند، و انحراف استاندارد به ۰.۹۰ کاهش یابد. خطای استاندارد جدید بنابراین:

$SE = \frac{0.90}{\sqrt{100}} = \frac{0.90}{10} = 0.09$

​0.90​=100.90​=0.09

فاصله اطمینان حاصل -۰.۲۵ ± ۰.۰۹ = (-۰.۳۴ - -۰.۱۶) می‌شود، که محدوده تنگ‌تری از مقادیر است.

چگونه از این در زندگی واقعی استفاده خواهم کرد؟

به طور کلی، اگر داده‌ها را تحلیل می‌کنید، باید از خطای استاندارد آگاه باشید زیرا می‌تواند به شما بگوید چقدر پراکندگی در داده‌های نمونه وجود دارد. در مورد سرمایه‌گذاری و معامله، می‌تواند برای ارزیابی اینکه چقدر احتمال دارد و چقدر بازده‌های آینده دارایی نوسان کند و قابلیت اطمینان میانگین‌های تاریخی استفاده شود.

برای مثال، اگر تحلیل شما به خطای استاندارد -۰.۲۵ ± ۰.۰۹ = (-۰.۳۴ - -۰.۱۶) منجر شود، می‌توانید حدس آگاهانه بزنید که بازده‌های آینده سرمایه‌گذاری‌تان باید در این محدوده قرار گیرد (تا زمانی که شرایط بازار ثابت بماند).

منظور از خطای استاندارد چیست؟

خطای استاندارد به طور شهودی، انحراف استاندارد توزیع نمونه‌برداری است. به عبارت دیگر، نشان می‌دهد چقدر اختلاف احتمالاً در تخمین نقطه‌ای حاصل از نمونه نسبت به میانگین واقعی جمعیت وجود دارد.

خطای استاندارد خوب چیست؟

خطای استاندارد، مقدار اختلاف قابل انتظار در تخمین نمونه نسبت به ارزش واقعی در جمعیت را اندازه‌گیری می‌کند. بنابراین، هرچه خطای استاندارد کوچک‌تر، بهتر است. در واقع، خطای استاندارد صفر (یا نزدیک به آن) نشان می‌دهد که ارزش تخمینی دقیقاً ارزش واقعی است.

چگونه خطای استاندارد را پیدا کنیم؟

خطای استاندارد، انحراف استاندارد را می‌گیرد و آن را بر ریشه مربع اندازه نمونه تقسیم می‌کند. بسیاری از بسته‌های نرم‌افزاری آماری به طور خودکار خطاهای استاندارد را محاسبه می‌کنند.

خلاصه

خطای استاندارد (SE)، پراکندگی مقادیر تخمینی حاصل از نمونه حول ارزش واقعی که در جمعیت یافت می‌شود را اندازه‌گیری می‌کند.

تحلیل آماری و استنباط اغلب شامل گرفتن نمونه‌ها و اجرای آزمون‌های آماری برای تعیین ارتباطات و همبستگی‌های بین متغیرها است. خطای استاندارد بنابراین به ما می‌گوید با چه درجه اطمینانی می‌توان انتظار داشت ارزش تخمینی، ارزش جمعیت را تقریب بزند.