تابع چگالی احتمال چیست؟

تابع چگالی احتمال (Probability Density Function یا PDF) یک تکنیک تحلیلی است که نشان می‌دهد احتمال وقوع نتایج مختلف در یک بازه از امکانات چگونه است. در این تابع، احتمال به صورت درصد توزیع داده‌ها بین دو معیار تعریف می‌شود. PDF معمولاً توسط تحلیلگران مالی برای درک نحوه توزیع بازده‌ها استفاده می‌شود تا ریسک و انتظارات مرتبط با قیمت‌ها و بازده‌های سرمایه‌گذاری را ارزیابی کنند.

نکات کلیدی

• تابع چگالی احتمال یک معیار آماری است که برای سنجش احتمال وقوع بازده‌های سرمایه‌گذاری در یک بازه مشخص از مقادیر استفاده می‌شود.
• تحلیلگران مالی می‌توانند از PDF برای نشان دادن ریسک‌های مرتبط با یک سرمایه‌گذاری خاص استفاده کنند.
• PDFها معمولاً روی نموداری ترسیم می‌شوند که اغلب شبیه منحنی زنگوله‌ای (Bell Curve) است، با داده‌ها در زیر منحنی قرار دارند.
• انحراف منحنی در دو انتها نشان‌دهنده ریسک/پاداش بیشتر یا کمتر است.

درک تابع چگالی احتمال (PDF)

ابزارهای آماری به‌طور گسترده‌ای در دنیای سرمایه‌گذاری استفاده می‌شوند. این ابزارها برای تحلیل و شناسایی روندهای بازار و درک ریسک‌ها و بازده‌های بالقوه مرتبط با سرمایه‌گذاری‌های خاص بسیار مفید هستند. این امکان را به سرمایه‌گذاران و متخصصان مالی می‌دهد تا تصمیمات آگاهانه‌تری درباره نحوه سرمایه‌گذاری پول خود بگیرند.

تابع چگالی احتمال یک معیار آماری است که نشان می‌دهد بازده‌های سرمایه‌گذاری تا چه حد در یک بازه مشخص قرار می‌گیرند. PDFها معمولاً روی نمودار ترسیم می‌شوند، جایی که منحنی زنگوله‌ای نرمال نشان‌دهنده ریسک خنثی بازار است و منحنی منحرف‌شده در دو انتها نشان‌دهنده ریسک-پاداش بیشتر یا کمتر است.

انحراف (Skewness) به جابه‌جایی بخش بلندتر منحنی به سمت چپ یا راست اشاره دارد:

• اگر منحنی به سمت چپ جابه‌جا شود و دم بلندی در سمت راست داشته باشد (انحراف به راست)، تحلیلگران معتقدند که نشان‌دهنده احتمال پاداش بالاتر است.
• اگر به سمت راست جابه‌جا شود و دم بلندی در سمت چپ داشته باشد (انحراف به چپ)، تحلیلگران پیشنهاد می‌دهند که ریسک نزولی بیشتری وجود دارد.

تصویر زیر داده‌های توزیع‌شده نرمال را با منحنی زنگوله‌ای نشان می‌دهد. میانگین داده‌ها خط وسط است و خطوط عمودی انحرافات استاندارد را نشان می‌دهند، یعنی داده‌ها تا چه حد از میانگین فاصله دارند.

توزیع نرمال تصویر از جولی بنگ © Investopedia 2020 دو خط عمودی اول در دو طرف میانگین نشان می‌دهند که 68.5٪ از داده‌ها در بازه ±1 انحراف استاندارد از میانگین قرار دارند. بنابراین، اگر این منحنی بازده‌های سهام با توزیع نرمال باشد، می‌بینید که 68.5٪ مواقع، بازده‌ها بین خطوط -1 SD و +1 SD قرار می‌گیرند و ریسک بازار خنثی است (بدون انحراف).

محاسبه PDF و ترسیم آن به‌صورت گرافیکی ممکن است شامل محاسبات پیچیده نرخ خطر باشد که از معادلات دیفرانسیل یا حساب انتگرال استفاده می‌کند. در عمل، برای محاسبه تابع چگالی احتمال به ماشین‌حساب‌های گرافیکی یا بسته‌های نرم‌افزاری آماری نیاز است.

نکته مهم

مقدار PDF هرگز نمی‌تواند منفی باشد.

مثال تابع چگالی احتمال (PDF)

تابع چگالی احتمال متغیرهای پیوسته را اندازه‌گیری می‌کند. با این حال، باید توجه داشت که بازده‌های سهام و سرمایه‌گذاری‌ها معمولاً متغیرهای تصادفی گسسته هستند. با این وجود، اکثر تحلیلگران مالی فرض می‌کنند که بازده‌ها و قیمت‌ها پیوسته هستند تا بتوانند عملکرد را مدل‌سازی کرده و ریسک‌ها را تحلیل کنند.

در تصویر زیر، مقادیر شاخص S&P 500 در طول سه سال ترتیب‌بندی و ترسیم شده‌اند. نتیجه یک منحنی زنگوله‌ای با انحراف به راست بود که نشان‌دهنده امکان پاداش بالاتر در طول سه سال است.

PDF شاخص S&P 500

نکته سریع: بازده‌های سرمایه‌گذاری به‌ندرت، یا شاید هرگز، به‌صورت نرمال توزیع نمی‌شوند، بنابراین نمودارها به‌احتمال زیاد هرگز یک منحنی توزیع نرمال تمیز نخواهند بود.

تابع چگالی احتمال (PDF) چه چیزی به ما می‌گوید؟

تابع چگالی احتمال (PDF) توصیف می‌کند که چقدر احتمال دارد نتیجه‌ای خاص از یک فرآیند تولید داده مشاهده شود. PDF می‌تواند به ما بگوید کدام مقادیر احتمال بیشتری برای ظاهر شدن دارند در مقابل نتایج کمتر محتمل. این موضوع بسته به شکل و ویژگی‌های PDF تغییر می‌کند.

قضیه حد مرکزی (CLT) چیست و چگونه با PDF مرتبط است؟

قضیه حد مرکزی (Central Limit Theorem یا CLT) بیان می‌کند که توزیع یک متغیر تصادفی در یک نمونه با افزایش اندازه نمونه به توزیع نرمال نزدیک می‌شود، صرف‌نظر از شکل واقعی توزیع. به‌عنوان مثال، پرتاب سکه یک فرآیند دوگانه است که توسط توزیع دوجمله‌ای (شیر یا خط) توصیف می‌شود.

با این حال، اگر چندین پرتاب سکه را در نظر بگیریم، احتمال به‌دست‌آوردن هر ترکیب خاصی از شیر و خط متفاوت می‌شود. برای مثال، اگر سکه را 10 بار پرتاب کنیم، احتمال به‌دست‌آوردن پنج شیر و پنج خط بیشترین است، اما به‌دست‌آوردن 10 شیر پیاپی بسیار نادر است. حال تصور کنید 1000 پرتاب سکه انجام شود، توزیع به منحنی زنگوله‌ای نرمال نزدیک می‌شود.

تفاوت PDF و CDF چیست؟

تابع چگالی احتمال (PDF) توضیح می‌دهد که کدام مقادیر در یک فرآیند تولید داده در هر زمان یا برای هر قرعه‌کشی احتمال بیشتری برای ظاهر شدن دارند. در مقابل، تابع توزیع تجمعی (Cumulative Distribution Function یا CDF) نشان می‌دهد که چگونه این احتمالات حاشیه‌ای جمع می‌شوند و در نهایت به 100٪ (یا 1.0) از نتایج ممکن می‌رسند. با استفاده از CDF، می‌توان دید که چقدر احتمال دارد نتیجه یک متغیر کمتر یا برابر با یک مقدار پیش‌بینی‌شده باشد.

نتیجه‌گیری

توابع توزیع احتمال (PDFها) مقادیر مورد انتظار متغیرهای تصادفی استخراج‌شده از یک نمونه را توصیف می‌کنند. شکل PDF توضیح می‌دهد که چقدر احتمال دارد یک مقدار مشاهده‌شده رخ دهد.

قیمت‌ها و بازده‌های سهام معمولاً از توزیع لگ‌نرمال (Log-Normal) به‌جای توزیع نرمال پیروی می‌کنند، که نشان می‌دهد ضررهای نزولی نسبت به سودهای بسیار بزرگ، در مقایسه با آنچه توزیع نرمال پیش‌بینی می‌کند، شایع‌تر هستند.